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15 Analyse de risques
15.3.3 Mod` eles de Feynman-Kac
L’objectif de cette section est de repr´ esenter la probabilit´ e P(T < R), et
les lois conditionnelles du processus ´ evoluant dans l’´ ev´ enement {T < R} en
termes de formules de Feynman-Kac.
Pour d´ etecter si une excursion x = (x r ) p≤r≤q ∈ E
(q−p)+1 , avec p ≤ q,
a r´ eussi ` a entrer dans le n-i` eme niveau B n on introduit simplement les
fonctions potentiel G n sur E d´ efinies par
G n (q, (x r ) p≤r≤q ) = 1 Bn (x q )
Avec ces notations, nous avons
(T n < R) = (T 1 < R, . . . , T n < R) = (G 1 (X 1 ) = 1 . . . , G n (X n ) = 1)
et
(X 0 , . . . , X n )
= ((0, X 0 ), (T 1 , (X t ; 0 ≤ t ≤ T 1 )), . . . , (T n , (X t ; T n−1 ≤ t ≤ T n )))
On notera par la suite
[X t ; 0 ≤ t ≤ T n ] = (X 0 , . . . , X n )
la s´ equence des excursions entre les niveaux B 0 , . . . , B n . Avec ces notations,
nous avons pour toute fonction f n ∈ B b (E
n+1 )
E(f n ([X t ; 0 ≤ t ≤ T n ]) ; T n < R) = E
f n (X 0 , . . . , X n )
n
p=0
G p (X p )