15.3 Mod` eles d’excursions par niveaux
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On associe `
a ces instants al´ eatoires la s´ equence d’excursions
X n = (T n , (X p ; T n−1 ≤ p ≤ T n )) ∈ E = ∪ p≤n
{n} × E
(n−p)+1
(15.18)
Lorsque T n < R, la seconde composante (X p ; T n−1 ≤ p ≤ T n ) de la variable
al´ eatoire X n repr´ esente l’excursion du processus X entre les niveaux B n−1 et
B n . Par cons´ equent, T n peut aussi ˆ etre d´ efini par la formule suivante
T n = inf {T n−1 ≤ n : X n ∈ B n ∪ C}
De mˆ eme, nous avons
(T < R) = (T m < R) = (T 1 < R, . . . , T m < R)
Nous avons donc montr´ e que la suite (X n ) 0≤n≤m forme une chaˆ ıne de Markov
` a valeurs dans l’ensemble des excursions E.
Avec ces notations, les indices n ∈ {0, . . . , m} des niveaux (B n ∪ C) sont
interpr´ et´ es comme des unit´ es de temps. Lorsque l’ensemble C = ∅, l’excursion
initialis´ ee en B n−1 peut entrer dans C bien avant d’atteindre le niveau suivant
B n . Dans cette situation, nous avons
T n = R =⇒ ∀p > n T p = R et X p = X R ∈ C
A l’inverse, une excursion initialis´ ee en B p−1 − B p ,
X p = (T p , (X t ; T p−1 ≤ t ≤ T p )) avec X Tp−1 ∈ B p−1
peut entrer directement dans le n-i` eme niveau X Tp ∈ B n ⊂ B p , avec n ≥ p,
sans visiter les ensembles interm´ ediaires B p − B n . Dans cette situation, on
remarquera que l’on a
B n ⊂ . . . ⊂ B p+1 ⊂ B p
Par construction, nous avons dans ce cas
X Tp = X Tp+1 = . . . = X Tn ∈ B n
et
T p = T p+1 = . . . = T n =⇒ X p = X p+1 = . . . = X n
Autrement dit, le processus reste gel´ e pendant (n − p) it´ erations dans le niveaux B n .