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15 Analyse de risques
p, ou on perd cette somme avec probabilit´ e q. On consid` ere par la suite deux
niveaux fix´ es a < x < b. Une question importante est de calculer la probabilit´ e
de gagner (b − x) unit´ es sans jamais perdre plus de (x − a) unit´ es. Plus
formellement, la r´ eponse `
a cette question revient `
a calculer la probabilit´ e pour
que le processus initialis´ e en x ∈]a, b[ entre dans l’ensemble B = [b, ∞) avant
d’entrer dans l’ensemble C = (−∞, a]. Lorsque p < q (i.e., p < 1/2), la marche
al´ eatoire est attir´ ee vers C, et il devient plus difficile d’entrer dans B. Dans
cette situation, les probabilit´ es recherch´ ees sont explicitement calculables en
utilisant les formules suivantes :
P x (R < ∞) = 1 et P x (T < R) =
(q/p)
x
− (q/p)
a
(q/p) b − (q/p) a
(15.17)
15.3.2 Mod` eles d’excursions multi-niveaux
Pendant son excursion de A dans A
c (= B ∪ C) le processus ´ evolue dans
une suite de niveaux d´ ecroissants (B n ) n=0,...,m ∈ E
m+1 avec
B = B m ⊂ . . . ⊂ B 1 ⊂ B 0
Le choix du param` etre m et celui des niveaux (B n ) 0≤n≤m d´ epend du
probl` eme ´ etudi´ e. Dans tous les cas, on choisira ces param` etres de sorte ` a
avoir
A = B 0 − B 1 et B 0 ∩ C = ∅
Reprenons l’exemple (15.16). Dans cette situation, pour toute s´ equence de
niveaux b n telle que
b 0 = a ≤ b 1 = a + 1 ≤ b 2 . . . ≤ b m = b
nous avons clairement
A = B 0 − B 1 = {a} et B 0 = [b 0 , ∞[⊃ B 1 ⊃ . . . ⊃ B m = B
Pour plus de d´ etails concernant ce mod` ele nous renvoyons le lecteur `
a l’exercice
12.2.9 page 455 de l’ouvrage [36].
On notera par la suite T n les premiers temps d’entr´ ee du processus X dans
les ensembles B n ∪ C. Plus formellement, ces temps al´ eatoires sont donn´ es
par la formule suivante
T n = inf {n ≥ 0 : X n ∈ B n ∪ C}
Par construction, les instants al´ eatoires T n forment une suite croissante
T 0 = 0 ≤ T 1 ≤ . . . ≤ T m = T
15 Analyse de risques
p, ou on perd cette somme avec probabilit´ e q. On consid` ere par la suite deux
niveaux fix´ es a < x < b. Une question importante est de calculer la probabilit´ e
de gagner (b − x) unit´ es sans jamais perdre plus de (x − a) unit´ es. Plus
formellement, la r´ eponse `
a cette question revient `
a calculer la probabilit´ e pour
que le processus initialis´ e en x ∈]a, b[ entre dans l’ensemble B = [b, ∞) avant
d’entrer dans l’ensemble C = (−∞, a]. Lorsque p < q (i.e., p < 1/2), la marche
al´ eatoire est attir´ ee vers C, et il devient plus difficile d’entrer dans B. Dans
cette situation, les probabilit´ es recherch´ ees sont explicitement calculables en
utilisant les formules suivantes :
P x (R < ∞) = 1 et P x (T < R) =
(q/p)
x
− (q/p)
a
(q/p) b − (q/p) a
(15.17)
15.3.2 Mod` eles d’excursions multi-niveaux
Pendant son excursion de A dans A
c (= B ∪ C) le processus ´ evolue dans
une suite de niveaux d´ ecroissants (B n ) n=0,...,m ∈ E
m+1 avec
B = B m ⊂ . . . ⊂ B 1 ⊂ B 0
Le choix du param` etre m et celui des niveaux (B n ) 0≤n≤m d´ epend du
probl` eme ´ etudi´ e. Dans tous les cas, on choisira ces param` etres de sorte ` a
avoir
A = B 0 − B 1 et B 0 ∩ C = ∅
Reprenons l’exemple (15.16). Dans cette situation, pour toute s´ equence de
niveaux b n telle que
b 0 = a ≤ b 1 = a + 1 ≤ b 2 . . . ≤ b m = b
nous avons clairement
A = B 0 − B 1 = {a} et B 0 = [b 0 , ∞[⊃ B 1 ⊃ . . . ⊃ B m = B
Pour plus de d´ etails concernant ce mod` ele nous renvoyons le lecteur `
a l’exercice
12.2.9 page 455 de l’ouvrage [36].
On notera par la suite T n les premiers temps d’entr´ ee du processus X dans
les ensembles B n ∪ C. Plus formellement, ces temps al´ eatoires sont donn´ es
par la formule suivante
T n = inf {n ≥ 0 : X n ∈ B n ∪ C}
Par construction, les instants al´ eatoires T n forment une suite croissante
T 0 = 0 ≤ T 1 ≤ . . . ≤ T m = T