15.3 Mod` eles d’excursions par niveaux
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15.3 Mod` eles d’excursions par niveaux
15.3.1 Introduction
On consid` ere un processus de Markov X n ´ evoluant dans un espace d’´ etat
E. Pour fixer les id´ ees et ´ eviter des consid´ erations techniques inutiles, nous
conviendrons que cet espace est discret. Le processus est initialis´ e dans un
ensemble A ⊂ E avec une certaine loi ν 0 . On se donne un couple d’ensembles
(B, C) tels que
A ∩ C = ∅ = B ∩ C
On notera par la suite T le premier instant o` u le processus entre dans l’ensemble (B ∪ C), et R le premier instant o` u le processus entre dans C. Plus
formellement, ces temps al´ eatoires sont d´ etermin´ es par les formules suivantes :
T = inf{n ≥ 0 : X n ∈ B ∪ C} ≤ R = inf{n ≥ 0 ; X n ∈ C}
Nous conviendrons que pour chaque ´ etat initial x ∈ A, le processus entre dans
B ∪ C dans un intervalle de temps fini P x (T < ∞) = 1.
Notre prochain objectif est d’estimer les quantit´ es suivantes
P(T < R) = P(X T ∈ B)
Loi(X n ; 0 ≤ n ≤ T | T < R) = Loi(X n ; 0 ≤ n ≤ T | X T ∈ B)
(15.15)
Nous nous placerons dans la situation o` u la plupart des r´ ealisations du processus X n sont attir´ ees vers l’ensemble C, de sorte que les ´ ev´ enements {T < R}
sont de tr` es faible probabilit´ e, disons de l’ordre de 10
−6 .
Pour illustrer ces mod` eles abstraits, examinons le cas o` u le processus X n
est une chaˆ ıne de Markov sur E = Z
X n = x +
n
i=1
ε i
(15.16)
initialis´ ee en un point X 0 = x 0 ∈ Z, avec une suite de d´ eplacements al´ eatoires
ind´ ependants (ε i ) i≥1 et de mˆ eme loi
P(ε 1 = +1) = p et P(ε 1 = −1) = q avec p, q ∈]0, 1[ t.q. p + q = 1
L’´ etat du syst` eme X n peut s’interpr´ eter comme la somme d’argent gagn´ ee
ou perdue par un joueur avec un budget initial x 0 dans un jeu al´ eatoire. A
chaque s´ equence de jeu, on augmente son profit d’une unit´ e avec probabilit´ e
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15.3 Mod` eles d’excursions par niveaux
15.3.1 Introduction
On consid` ere un processus de Markov X n ´ evoluant dans un espace d’´ etat
E. Pour fixer les id´ ees et ´ eviter des consid´ erations techniques inutiles, nous
conviendrons que cet espace est discret. Le processus est initialis´ e dans un
ensemble A ⊂ E avec une certaine loi ν 0 . On se donne un couple d’ensembles
(B, C) tels que
A ∩ C = ∅ = B ∩ C
On notera par la suite T le premier instant o` u le processus entre dans l’ensemble (B ∪ C), et R le premier instant o` u le processus entre dans C. Plus
formellement, ces temps al´ eatoires sont d´ etermin´ es par les formules suivantes :
T = inf{n ≥ 0 : X n ∈ B ∪ C} ≤ R = inf{n ≥ 0 ; X n ∈ C}
Nous conviendrons que pour chaque ´ etat initial x ∈ A, le processus entre dans
B ∪ C dans un intervalle de temps fini P x (T < ∞) = 1.
Notre prochain objectif est d’estimer les quantit´ es suivantes
P(T < R) = P(X T ∈ B)
Loi(X n ; 0 ≤ n ≤ T | T < R) = Loi(X n ; 0 ≤ n ≤ T | X T ∈ B)
(15.15)
Nous nous placerons dans la situation o` u la plupart des r´ ealisations du processus X n sont attir´ ees vers l’ensemble C, de sorte que les ´ ev´ enements {T < R}
sont de tr` es faible probabilit´ e, disons de l’ordre de 10
−6 .
Pour illustrer ces mod` eles abstraits, examinons le cas o` u le processus X n
est une chaˆ ıne de Markov sur E = Z
X n = x +
n
i=1
ε i
(15.16)
initialis´ ee en un point X 0 = x 0 ∈ Z, avec une suite de d´ eplacements al´ eatoires
ind´ ependants (ε i ) i≥1 et de mˆ eme loi
P(ε 1 = +1) = p et P(ε 1 = −1) = q avec p, q ∈]0, 1[ t.q. p + q = 1
L’´ etat du syst` eme X n peut s’interpr´ eter comme la somme d’argent gagn´ ee
ou perdue par un joueur avec un budget initial x 0 dans un jeu al´ eatoire. A
chaque s´ equence de jeu, on augmente son profit d’une unit´ e avec probabilit´ e