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15 Analyse de risques
Z
N
p =
0≤q η
N
q (G q )
=
0≤q 1
N
N
i=1
e
λ(Vq+1(ξ
1,i
q )−Vq(ξ
2,i
q ))
−→ N ↑∞ Z p = E
e
λVp(Xp)
En utilisant la formule (15.14), l’approximation P
λ,N
n
des lois P
λ
n est donn´ ee
par la formule suivante
P
λ,N
n (f n ) := Q
N
n (F n )
pour toute fonction f n (x 0 , . . . , x n ) avec la fonction
F n ((x 0 , x 1 ), (x 1 , x 2 ), . . . , (x n , x n+1 )) = f n (x 0 , . . . , x n )
Par cons´ equent, nous avons
P
λ,N
n (f n ) =
1
N
N
i=1
f n
ξ
1,i
0,n , ξ
1,i
1,n , . . . , ξ
1,i
n,n
−→ N ↑∞ P
λ
n (f n )
Avec ces notations, les probabilit´ es de d´ epassement de niveau (15.9) sont
estim´ ees sans biais `
a partir de la formule suivante
Z
N
n ×
1
N
N
i=1
1 V
−1
n (]a,+∞[)
ξ
1,i
n,n
e
−λVn(ξ
1,i
n,n ) −→ N ↑∞ P (V n (X n ) ≥ a)
De mˆ eme, les lois conditionnelles (15.10) sont estim´ ees en utilisant les
approximations suivantes
N
i=1
1 V
−1
n (]a,+∞[)
ξ
1,i
n,n
e
−λVn(ξ
1,i
n,n )
N
j=1 1 V
−1
n (]a,+∞[)
ξ
1,j
n,n
e
−λVn(ξ
1,j
n,n )
f n
ξ
1,i
0,n , ξ
1,i
1,n , . . . , ξ
1,i
n,n
−→ N ↑∞ E (f n (X 0 , . . . , X n ) | V n (X n ) > a)
Pour plus de d´ etails concernant ces mod` eles stochastiques, et la convergence
de ces algorithmes particulaires, nous renvoyons le lecteur aux articles [48, 49]