15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
441
l’algorithme g´ en´ etique correspondant est donn´ e par des transitions de s´ election
mutation
ξ p = (ξ
i
p ) 1≤i≤N ∈ E
N
p
s´ election
− − − − − − − − −→
ξ p = (
ξ
i
p ) 1≤i≤N ∈ E
N
p
mutation
− − − − − − − −−→ ξ p+1 ∈ E
N
p+1
Chacune des particules ξ
i
p et
ξ
i
p est `
a valeur dans l’espace des transitions
E p = (E p × E p+1 ), on notera les coordonn´ ees des transitions de la fa¸ con
suivante
ξ
i
p :=
ξ
1,i
p , ξ
2,i
p
et
ξ
i
p :=
ξ
1,i
p ,
ξ
2,i
p
Les mutations et les s´ elections sont d´ etermin´ ees ` a chaque instant n respectivement par les transitions de probabilit´ es M n d´ ecrites en (15.11), et par
les fonctions potentiel G n donn´ ees en (15.12). On convient que les individus
initiaux ξ 0 = (ξ
i
0 ) 1≤i≤N ∈ E
N
0 forment une suite de v.a. i.i.d. de mˆ eme loi que
X 0 .
On notera η p les p-marginales des lois Q p . Plus formellement, pour toute
fonction ϕ p sur E p nous avons
η p (ϕ p ) =
E
ϕ p (X p )
0≤q E
0≤q =
E
ϕ p (X p , X p+1 ) e
λVp(Xp)
E
e λVp(Xp)
Ces lois η p sont estim´ ees en consid´ erant les mesures d’occupation η
N
p de
l’algorithme particulaire apr` es la p-i` eme mutation
η
N
p :=
1
N
N
i=1
δ ξ i
p
=
1
N
N
i=1
δ (ξ
1,i
p ,ξ
2,i
p ) −→ N ↑∞ η p
Les mesures Q p sur les espaces de trajectoires sont estim´ ees en utilisant les
arbres g´ en´ ealogiques de la population apr` es la p-i` eme mutation. Ces mod` eles
d’arbres stochastiques sont form´ es de N lignes ancestrales sur des espaces de
transition
ξ
i
0,p , ξ
i
1,p , . . . , ξ
i
p,p
=
(ξ
1,i
0,p , ξ
2,i
0,p ), (ξ
1,i
1,p , ξ
2,i
1,p ), . . . , (ξ
1,i
p,p , ξ
2,i
p,p )
∈ (E 0 × . . . × E p )
Plus pr´ ecis´ ement, nous avons
Q
N
p :=
1
N
N
i=1
δ (ξ
i
0,p ,ξ i
1,p ,...,ξ i
p,p ) −→ N ↑∞ Q p
En accord avec les mod` eles stochastiques d´ ecrits dans la section 8.3.4, les
approximations non biais´ ees des constantes de normalisation Z p sont donn´ ees
par les formules multiplicatives
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l’algorithme g´ en´ etique correspondant est donn´ e par des transitions de s´ election
mutation
ξ p = (ξ
i
p ) 1≤i≤N ∈ E
N
p
s´ election
− − − − − − − − −→
ξ p = (
ξ
i
p ) 1≤i≤N ∈ E
N
p
mutation
− − − − − − − −−→ ξ p+1 ∈ E
N
p+1
Chacune des particules ξ
i
p et
ξ
i
p est `
a valeur dans l’espace des transitions
E p = (E p × E p+1 ), on notera les coordonn´ ees des transitions de la fa¸ con
suivante
ξ
i
p :=
ξ
1,i
p , ξ
2,i
p
et
ξ
i
p :=
ξ
1,i
p ,
ξ
2,i
p
Les mutations et les s´ elections sont d´ etermin´ ees ` a chaque instant n respectivement par les transitions de probabilit´ es M n d´ ecrites en (15.11), et par
les fonctions potentiel G n donn´ ees en (15.12). On convient que les individus
initiaux ξ 0 = (ξ
i
0 ) 1≤i≤N ∈ E
N
0 forment une suite de v.a. i.i.d. de mˆ eme loi que
X 0 .
On notera η p les p-marginales des lois Q p . Plus formellement, pour toute
fonction ϕ p sur E p nous avons
η p (ϕ p ) =
E
ϕ p (X p )
0≤q E
0≤q =
E
ϕ p (X p , X p+1 ) e
λVp(Xp)
E
e λVp(Xp)
Ces lois η p sont estim´ ees en consid´ erant les mesures d’occupation η
N
p de
l’algorithme particulaire apr` es la p-i` eme mutation
η
N
p :=
1
N
N
i=1
δ ξ i
p
=
1
N
N
i=1
δ (ξ
1,i
p ,ξ
2,i
p ) −→ N ↑∞ η p
Les mesures Q p sur les espaces de trajectoires sont estim´ ees en utilisant les
arbres g´ en´ ealogiques de la population apr` es la p-i` eme mutation. Ces mod` eles
d’arbres stochastiques sont form´ es de N lignes ancestrales sur des espaces de
transition
ξ
i
0,p , ξ
i
1,p , . . . , ξ
i
p,p
=
(ξ
1,i
0,p , ξ
2,i
0,p ), (ξ
1,i
1,p , ξ
2,i
1,p ), . . . , (ξ
1,i
p,p , ξ
2,i
p,p )
∈ (E 0 × . . . × E p )
Plus pr´ ecis´ ement, nous avons
Q
N
p :=
1
N
N
i=1
δ (ξ
i
0,p ,ξ i
1,p ,...,ξ i
p,p ) −→ N ↑∞ Q p
En accord avec les mod` eles stochastiques d´ ecrits dans la section 8.3.4, les
approximations non biais´ ees des constantes de normalisation Z p sont donn´ ees
par les formules multiplicatives