15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
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Pour cela, nous introduisons le processus de Markov sur l’espace des transitions
X n = (X
1
n , X
2
n ) := (X n , X n+1 )
On notera que X n est bien une chaˆ ıne de Markov de transitions de probabilit´ es
donn´ ees pour chaque x n−1 =
x
1
n−1 , x
2
n−1
et x n =
x
1
n , x
2
n
par la formule
P (X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n ) = 1 x 2
n−1
(x
1
n ) M n+1 (x
1
n , dx
2
n )
(15.11)
o` u dx n d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point x n =
x
1
n , x
2
n
. La loi
initiale est donn´ ee par la formule
Proba(X 0 ∈ dx 0 ) = p 0 (dx 0 ) = η 0 (dx
1
0 )M 1 (x
1
0 , dx
2
0 )
o` u dx 0 d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point x 0 =
x
1
0 , x
2
0
.
Avec ces notations, la loi d’une trajectoire al´ eatoire (X 0 , . . . , X n ) est donn´ ee
par la formule
P n (d(x 0 , . . . , x n )) := p 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
Par construction, pour toute fonction F n (X 0 , . . . , X n ) des trajectoires al´ eatoires (X 0 , . . . , X n ), nous avons
P n (F n ) =
F n (x 0 , . . . , x n ) P n (d(x 0 , . . . , x n ))
=
F n ((x 0 , x 1 ), (x 1 , x 2 ), . . . , (x n , x n+1 )) P n (dx 0 , . . . , x n ))
En posant
f n+1 (x 0 , . . . , x n+1 ) = F n ([(x 0 , x 1 ), (x 1 , x 2 ), . . . , (x n , x n+1 )])
on obtient la formule
P n (F n ) = E (F n (X 0 , . . . , X n )) = E (f n+1 (X 0 , . . . , X n+1 )) = P n+1 (f n+1 )
Si on pose V 0 = 0, alors nous avons la formule produit
e
λVn(Xn) =
0≤p e
λ(Vp+1(Xp+1)−Vp(Xp)) =
0≤p G p (X p )
avec les fonctions potentiel