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15 Analyse de risques
Avec ces notations, la formule pr´ ec´ edente s’exprime sous la forme suivante
P (V n (X n ) ≥ a) = E
1 V
−1
n (]a,+∞[) (X
λ
n ) e
−λVn(X
λ
n )
× E
e
λVn(Xn)
Par construction, nous avons d´ emontr´ e la formule
P (V n (X n ) ≥ a) = P
λ
n (U
1
n ) × E
e
λVn(Xn)
(15.9)
avec la fonction
U
1
n (x 0 , . . . , x n ) = 1 V
−1
n (]a,+∞[) (x n ) e
−λVn(xn)
et
P
λ
n (U
1
n ) =
U
1
n (x 0 , . . . , x n ) P
λ
n (d(x 0 , . . . , x n ))
Examinons d´ esormais la loi conditionnelle des trajectoires al´ eatoires du
processus conduisant le processus `
a evoluer au temps n dans le niveau
V
−1
n (]a, +∞[). Par d´ efinition des lois conditionnelles, pour toute fonction f n
sur l’espace des trajectoires E n = (E 0 × . . . × E n ) de longueur n, nous avons
la formule suivante
E (f n (X 0 , . . . , X n ) | V n (X n ) > a)
=
E
fn(X0,...,Xn) 1 V
−1
n (]a,+∞[)
(Xn)
E
1 V
−1
n (]a,+∞[)
(Xn)
=
E
fn(X0,...,Xn) 1 V
−1
n (]a,+∞[)
(Xn) e
−λVn (Xn ) ×e
λVn (Xn )
E
1 V
−1
n (]a,+∞[)
(Xn) e −λVn (Xn ) ×e λVn (Xn )
Autrement dit, nous avons
E (f n (X 0 , . . . , X n ) | V n (X n ) > a) = P
λ
n
U
f
n
/P
λ
n
U
1
n
(15.10)
avec les fonctions
U
f
n (x 0 , . . . , x n ) = f n (x 0 , . . . , x n ) 1 V
−1
n (]a,+∞[) (x n ) e
−λVn(xn)
15.2.4 Mod` eles de Feynman-Kac
L’objectif de cette section est d’exprimer les formules (15.9) et (15.10) en
terme de mod` eles de Feynman-Kac.