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15 Analyse de risques
N E
p
λ,N
n (a)
p n (a)
− 1
2
≤ λ
√
2πn
1 + 1/(λ
2 n)
λ
√
2πn
Pour des valeurs λ = λ 0 /
√ n ⇒ a = λn = λ 0
√ n, avec des valeurs λ 0 assez
grandes, nous avons
N E
p
λ,N
n (a)
p n (a)
− 1
2
≤
√
2π (λ 0 + 1/λ 0 ) λ 0
√
2π
15.2.3 Principes de grandes d´ eviations
L’exemple que nous avons trait´ e dans la section pr´ ec´ edente est bien entendu un cas tr` es particulier o` u le changement de probabilit´ e est plus ou
moins dict´ ee par les propri´ et´ es gaussiennes du processus coupl´ ees `
a une fonction d’´ energie tr` es ´ el´ ementaire. Dans des probl` emes pratiques plus complexes,
le choix du processus de Markov pr´ ef´ erentiel est souvent plus difficile `
a faire.
Dans cette section, nous pr´ esentons une technique fond´ ee sur une analyse
pr´ eliminaire des propri´ et´ es de grandes d´ eviations du processus de r´ ef´ erence.
Pour simplifier la pr´ esentation, nous conviendrons que les fonctions V n et
le processus X n sont tels que l’on a E (exp (λV n (X n ))) < ∞, pour tout choix
du param` etre λ > 0. Dans ces conditions, en appliquant l’in´ egalit´ e de Markov
exponentielle, pour tout λ > 0 nous avons les in´ egalit´ es suivantes :
P (V n (X n ) ≥ a) = P (exp (λV n (X n )) ≥ exp (aλ)) ≤ exp (−aλ) × exp Λ n (λ)
avec la fonction Λ n d´ efinie ci-dessous
Λ n (λ) := log E (exp (λV n (X n )))
En optimisant au mieux cette in´ egalit´ e par rapport au param` etre λ, nous
obtenons l’in´ egalit´ e des grandes d´ eviations
P (V n (X n ) ≥ a) ≤ inf
λ>0
e
−λa+Λn(λ)
= e
−Λ
n (a)
avec la fonction duale Λ
n d´ efinie ci-dessous
Λ
n (a) := sup
λ>0
[λa − Λ n (λ)]
15 Analyse de risques
N E
p
λ,N
n (a)
p n (a)
− 1
2
≤ λ
√
2πn
1 + 1/(λ
2 n)
λ
√
2πn
Pour des valeurs λ = λ 0 /
√ n ⇒ a = λn = λ 0
√ n, avec des valeurs λ 0 assez
grandes, nous avons
N E
p
λ,N
n (a)
p n (a)
− 1
2
≤
√
2π (λ 0 + 1/λ 0 ) λ 0
√
2π
15.2.3 Principes de grandes d´ eviations
L’exemple que nous avons trait´ e dans la section pr´ ec´ edente est bien entendu un cas tr` es particulier o` u le changement de probabilit´ e est plus ou
moins dict´ ee par les propri´ et´ es gaussiennes du processus coupl´ ees `
a une fonction d’´ energie tr` es ´ el´ ementaire. Dans des probl` emes pratiques plus complexes,
le choix du processus de Markov pr´ ef´ erentiel est souvent plus difficile `
a faire.
Dans cette section, nous pr´ esentons une technique fond´ ee sur une analyse
pr´ eliminaire des propri´ et´ es de grandes d´ eviations du processus de r´ ef´ erence.
Pour simplifier la pr´ esentation, nous conviendrons que les fonctions V n et
le processus X n sont tels que l’on a E (exp (λV n (X n ))) < ∞, pour tout choix
du param` etre λ > 0. Dans ces conditions, en appliquant l’in´ egalit´ e de Markov
exponentielle, pour tout λ > 0 nous avons les in´ egalit´ es suivantes :
P (V n (X n ) ≥ a) = P (exp (λV n (X n )) ≥ exp (aλ)) ≤ exp (−aλ) × exp Λ n (λ)
avec la fonction Λ n d´ efinie ci-dessous
Λ n (λ) := log E (exp (λV n (X n )))
En optimisant au mieux cette in´ egalit´ e par rapport au param` etre λ, nous
obtenons l’in´ egalit´ e des grandes d´ eviations
P (V n (X n ) ≥ a) ≤ inf
λ>0
e
−λa+Λn(λ)
= e
−Λ
n (a)
avec la fonction duale Λ
n d´ efinie ci-dessous
Λ
n (a) := sup
λ>0
[λa − Λ n (λ)]