15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
433
Une simple int´ egration par partie donne
+∞
δ
+∞
y
e
−
x 2
2
√
2π
dx
dy =
y
+∞
y
e
−
x 2
2
√
2π
dx
+∞
δ
+
+∞
δ
y
e
−
y 2
2
√
2π
dy
= −δ
+∞
δ
e
−
x 2
2
√
2π
dx +
+∞
δ
∂
∂y
−
e
−
y 2
2
√
2π
dy
= −δ
+∞
δ
e
−
x 2
2
√
2π
dx +
e
−
δ 2
2
√
2π
On en conclut que
P(W > δ) ≥ −δ
2
P(W > δ) + δ
e
−
δ 2
2
√
2π
Autrement dit, nous avons montr´ e que
P(W > δ) ≥
δ
1 + δ 2
e
−
δ 2
2
√
2π
=
1
δ + δ −1
e
−
δ 2
2
√
2π
Dans notre contexte, pour des valeurs a = λn nous avons
X n =
1≤p≤n
W p ≥ a = λn ⇐⇒
1
√ n
1≤p≤n
W p
loi
= W
≥ δ = λ
√
n
Les in´ egalit´ es de Mills conduisent ainsi `
a l’estimation exponentielle suivante
1
λ + 1/(λn)
1
√
2πn
e
−
λ 2 n
2
≤ p n (a) ≤
1
λ
1
√
2πn
e
−
λ 2 n
2
(15.5)
Autrement dit, pour des valeurs a = λn avec n assez grand nous avons
Proba (X n ≥ a)
1
λ
1
√
2πn
e
−
λ 2 n
2
La variance relative non asymptotique d´ ecrite en (15.4) est alors minor´ ee par
la formule suivante
N E
p
N
n (a)
p n (a)
− 1
2
≥ λ
√
2πn e
+
λ 2 n
2
1 −
1
λ
1
√
2πn
e
−
λ 2 n
2
En utilisant la formule de Mills, pour des grandes valeurs de n nous avons
l’´ equivalence suivante