15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
431
Avec ces notations, la loi des trajectoires (X 0 , . . . , X n ) du processus est donn´ ee
par la formule produit
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = P n ((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= η 0 (dx 0 )M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
Pour fixer les id´ ees, prenons l’exemple d’une marche al´ eatoire X n sur R
d´ efinie par l’´ equation suivante
X p = X p−1 + W p
(15.2)
avec X 0 = 0, et une suite de variables al´ eatoires gaussiennes ind´ ependantes
(W p ) p≥1 centr´ ees et r´ eduites ; autrement dit, telles que
E(W 1 ) = 0 et E(W
2
1 ) = 1
Dans cette situation, l’´ etat du syst` eme au temps n est donn´ e par la variable
gaussienne
X n =
n
p=1
W p avec E(X n ) = 0 et E(X
2
n ) = n
Les transitions M n du processus X n sont donn´ ees par les formules suivantes
M n (x n−1 , dx n ) =
1
√
2π
e
−
1
2 (xn−xn−1)
2
On en conclut que la loi des trajectoires (X 0 , . . . , X n ) de ce processus est
donn´ ee par la formule produit
P n (d(x 0 , . . . , x n )) = Proba ((X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n ))
= δ 0 (dx 0 )
n
p=1
1
√
2π
e
−
1
2 (xp−xp−1)
2
dx 1 . . . dx n (15.3)
On se donne une fonction V n : E n → R et un niveau d’´ energie a. Notre
prochain objectif sera d’estimer les quantit´ es suivantes
p n (a) := Proba (V n (X n ) ≥ a) et Loi((X 0 , . . . , X n ) | V n (X n ) ≥ a)
Nous nous placerons dans la situation o` u les probabilit´ es p n (a) sont
extrˆ emement faibles, disons de l’ordre de 10
−6 . Dans ce contexte, l’utilisation
d’une m´ ethode de Monte Carlo classique fond´ ee sur la simulation de N trajectoires ind´ ependantes
X
i
0 , . . . , X
i
n
1≤i≤N
n´ ecessite un trop grand nombre