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15 Analyse de risques
5. Lorsque la fonction g s’exprime sous la forme produit
g = g n avec g p =
0≤q
nous avons les ´ equations r´ ecursives
μ p (dx) :=
1
η(g p )
g p (x) η(dx) = Ψ Gp−1 (μ p−1 )
reliant les variations de masses de probabilit´ e des “lois d’´ echantillonnage
pr´ ef´ erentiel optimales” μ p . A titre d’exemple si la fonction g = 1 A est l’indicatrice d’un ensemble, on peut choisir une suite d’ensembles d´ ecroissants
A 0 ⊂ A 1 ⊂ . . . ⊂ A n = A et poser G p = 1 Ap+1 . Lorsque g = e
−βV , pour
un param` etre inverse de temp´ erature et une fonction positive V , on pourra
choisir les fonctions G p = e
−(βp+1−βp)V pour des sch´ emas de temp´ erature
inverse croissants tels que β 0 ≤ β 1 ≤ . . . ≤ β n = β.
Si K p d´ esigne une transition de Markov de mesure invariante μ p , nous
obtenons les formules suivantes
μ p = μ p K p ⇒ μ p = Ψ Gp−1 (μ p−1 )K p
Ces flots de distributions ont exactement la mˆ eme forme que ceux pr´ esent´ es
dans le chapitre 9, section 9.2. Les approximations particulaires de ces mesures sont donn´ ees par des algorithmes stochastiques de type MCMC en
interaction.
En utilisant les notions d’absolue continuit´ e et de d´ eriv´ ees de Radon Nykodim entre mesures, les techniques d´ evelopp´ ees ci-dessus se g´ en´ eralisent sans
difficult´ e ` a des variables al´ eatoires et des distributions plus g´ en´ erales.
15.2.2 Mod` eles markoviens
Dans la section pr´ ec´ edente nous avons propos´ e un certain nombre de recettes d’´ echantillonnage pr´ ef´ erentiel pour estimer des lois de probabilit´ es “statiques”. Dans de nombreux probl` emes pratiques les lois `
a estimer sont souvent
li´ ees `
a des ph´ enom` enes physiques, biologiques, ou d’autre syst` emes complexes
´ evoluant al´ eatoirement dans le temps. Ces ´ evolutions al´ eatoires sont formalis´ ees par la donn´ ee d’un processus de Markov X n ´ evoluant dans des espaces
d’´ etats E n , pouvant varier par rapport au param` etre temporel n ∈ N. Nous
noterons M n les probabilit´ es de transition de ce processus
M n (x n−1 , dx n ) := Proba (X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 )
La distribution du point initial sera not´ ee
η 0 (dx 0 ) := Proba (X 0 ∈ dx 0 )
15 Analyse de risques
5. Lorsque la fonction g s’exprime sous la forme produit
g = g n avec g p =
0≤q
nous avons les ´ equations r´ ecursives
μ p (dx) :=
1
η(g p )
g p (x) η(dx) = Ψ Gp−1 (μ p−1 )
reliant les variations de masses de probabilit´ e des “lois d’´ echantillonnage
pr´ ef´ erentiel optimales” μ p . A titre d’exemple si la fonction g = 1 A est l’indicatrice d’un ensemble, on peut choisir une suite d’ensembles d´ ecroissants
A 0 ⊂ A 1 ⊂ . . . ⊂ A n = A et poser G p = 1 Ap+1 . Lorsque g = e
−βV , pour
un param` etre inverse de temp´ erature et une fonction positive V , on pourra
choisir les fonctions G p = e
−(βp+1−βp)V pour des sch´ emas de temp´ erature
inverse croissants tels que β 0 ≤ β 1 ≤ . . . ≤ β n = β.
Si K p d´ esigne une transition de Markov de mesure invariante μ p , nous
obtenons les formules suivantes
μ p = μ p K p ⇒ μ p = Ψ Gp−1 (μ p−1 )K p
Ces flots de distributions ont exactement la mˆ eme forme que ceux pr´ esent´ es
dans le chapitre 9, section 9.2. Les approximations particulaires de ces mesures sont donn´ ees par des algorithmes stochastiques de type MCMC en
interaction.
En utilisant les notions d’absolue continuit´ e et de d´ eriv´ ees de Radon Nykodim entre mesures, les techniques d´ evelopp´ ees ci-dessus se g´ en´ eralisent sans
difficult´ e ` a des variables al´ eatoires et des distributions plus g´ en´ erales.
15.2.2 Mod` eles markoviens
Dans la section pr´ ec´ edente nous avons propos´ e un certain nombre de recettes d’´ echantillonnage pr´ ef´ erentiel pour estimer des lois de probabilit´ es “statiques”. Dans de nombreux probl` emes pratiques les lois `
a estimer sont souvent
li´ ees `
a des ph´ enom` enes physiques, biologiques, ou d’autre syst` emes complexes
´ evoluant al´ eatoirement dans le temps. Ces ´ evolutions al´ eatoires sont formalis´ ees par la donn´ ee d’un processus de Markov X n ´ evoluant dans des espaces
d’´ etats E n , pouvant varier par rapport au param` etre temporel n ∈ N. Nous
noterons M n les probabilit´ es de transition de ce processus
M n (x n−1 , dx n ) := Proba (X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 )
La distribution du point initial sera not´ ee
η 0 (dx 0 ) := Proba (X 0 ∈ dx 0 )