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15 Analyse de risques
Les m´ ethodes de Monte Carlo traditionnelles permettent l’´ evaluation de
ces int´ egrales en simulant un ´ echantillon de variables al´ eatoires (X
i ) 1≤i≤N
ind´ ependantes et de mˆ eme loi que X. L’estimation non biais´ ee est donn´ ee en
prenant la moyenne empirique
η
N (g) =
g(x)
1
N
N
i=1
δ X i (dx) =
1
N
N
i=1
g(X
i )
(15.1)
La variance de cet estimateur est donn´ ee par la formule
E
η
N (g) − η(g)
2
=
η(g
2 ) − η(g)
2
N
L’´ echantillonnage pr´ ef´ erentiel consiste `
a choisir une densit´ e de probabilit´ e
p
Y (x) d’une variable al´ eatoire Y telle que p
X (x) ≤ C p
Y (x), pour une
constante C sur le support de la fonction f . Nous noterons μ(dx) = p
Y (x)dx
la loi de la variable Y .
Avec ces notations, nous avons
η(g) =
g(x)
p
X (x)
p Y (x)
p
Y (x) dx =
g(x) h(x) p
Y (x) dx = μ(gh)
avec la fonction
h(x) =
dη
dμ
(x) =
p
X (x)
p Y (x)
Comme pr´ ec´ edemment, notons (Y
i ) 1≤i≤N une suite de variables ind´ ependantes
et de mˆ eme loi que Y . L’estimation non biais´ ee est donn´ ee en prenant la
moyenne empirique
μ
N (gh) =
1
N
N
i=1
g(Y
i )h(Y
i )
La variance de cet estimateur est donn´ ee par la formule
E
μ
N (gh) − μ(gh)
2
=
μ(g
2 h
2 ) − μ(gh)
2 = η(g
2 h) − η(g)
2
N
En choisissant p
Y de la forme
p
Y (x) = g(x)p
X (x)/
g(y)p
X (y)dy ⇐⇒ μ(dx) = g(x)η(dx)/η(g)
nous avons
gh = η(g) ⇒ η(g
2 h) = η(g)
2