15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
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un mauvais a priori sur la r´ ealisation d’un ´ ev´ enement ne peut conduire ` a de
bonnes pr´ edictions. Inversement, il est essentiel de noter que pour des mod` eles
physiques et math´ ematiques pr´ ecis et complets, les lois conditionnelles et les
probabilit´ es d’entr´ ee du syst` eme dans un r´ egime critique offrent des informations tr` es pr´ ecises.
L’expression explicite et analytique de ces objets probabilistes est souvent
hors de port´ ee. Leur estimation n´ ecessite des calculs num´ eriques en grande
dimension o` u une recherche exhaustive de toutes les configurations al´ eatoires
envisageables est tout simplement impossible `
a r´ ealiser.
Une des techniques probabilistes les plus avanc´ ees est fond´ ee sur les
m´ ethodes de Monte Carlo et la simulation des al´ eas les plus pertinents. A l’oppos´ e des techniques statistiques fond´ ees sur l’analyse de donn´ ees, ces m´ ethodes
consistent `
a simuler “in silico” des donn´ ees les plus corr´ el´ ees `
a ces ´ ev´ enements
critiques.
Il existe deux approches plus ou moins concurrentes, sinon compl´ ementaires.
La premi` ere consiste ` a modifier la nature mˆ eme du syst` eme en le for¸ cant
` a ´ evoluer dans un r´ egime critique. Cette technique, dite d’´ echantillonnage
d’importance, est intrusive, et elle reste tr` es sensible aux modifications apport´ ees au syst` eme initial. La seconde m´ ethode consiste `
a d´ efinir une suite
d’´ ev´ enements de plus en plus critiques, et le plus souvent de plus en plus difficiles ` a simuler. Dans ce contexte, chacun des niveaux critiques sert pour ainsi
dire de passerelle conduisant `
a la simulation vers des niveaux sup´ erieurs. L’algorithme d’exploration de ces espaces d’al´ eas est fond´ e sur des dynamiques de
population, des processus de branchements et des syst` emes de particules en
interaction. La simulation des populations d’al´ eas possibles s’effectue de fa¸ con
s´ equentielle en s´ electionnant pas `
a pas les transitions al´ eatoires du syst` eme
ayant r´ eussi ` a passer les niveaux sup´ erieurs. Entre deux ´ etapes de s´ election,
l’algorithme explore chacun des niveaux. Ces m´ ethodes de simulation avanc´ ees
permettent de calculer les lois conditionnelles recherch´ ees. Plus pr´ ecis´ ement,
les arbres g´ en´ ealogiques associ´ es ` a ces populations d’al´ eas de type g´ en´ etique,
repr´ esentent les arbres de d´ efauts conduisant le syst` eme dans un r´ egime critique.
15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
15.2.1 Introduction
Notons X une variable al´ eatoire r´ eelle de densit´ e de probabilit´ e p
X (x).
Notons η(dx) = p
X (x)dx la loi de la variable X. Supposons que nous ayons ` a
calculer une valeur moyenne d’une fonction positive g de cette variable
E (g(X)) =
g(x) p
X (x) dx =
g(x) η(dx) = η(g)
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un mauvais a priori sur la r´ ealisation d’un ´ ev´ enement ne peut conduire ` a de
bonnes pr´ edictions. Inversement, il est essentiel de noter que pour des mod` eles
physiques et math´ ematiques pr´ ecis et complets, les lois conditionnelles et les
probabilit´ es d’entr´ ee du syst` eme dans un r´ egime critique offrent des informations tr` es pr´ ecises.
L’expression explicite et analytique de ces objets probabilistes est souvent
hors de port´ ee. Leur estimation n´ ecessite des calculs num´ eriques en grande
dimension o` u une recherche exhaustive de toutes les configurations al´ eatoires
envisageables est tout simplement impossible `
a r´ ealiser.
Une des techniques probabilistes les plus avanc´ ees est fond´ ee sur les
m´ ethodes de Monte Carlo et la simulation des al´ eas les plus pertinents. A l’oppos´ e des techniques statistiques fond´ ees sur l’analyse de donn´ ees, ces m´ ethodes
consistent `
a simuler “in silico” des donn´ ees les plus corr´ el´ ees `
a ces ´ ev´ enements
critiques.
Il existe deux approches plus ou moins concurrentes, sinon compl´ ementaires.
La premi` ere consiste ` a modifier la nature mˆ eme du syst` eme en le for¸ cant
` a ´ evoluer dans un r´ egime critique. Cette technique, dite d’´ echantillonnage
d’importance, est intrusive, et elle reste tr` es sensible aux modifications apport´ ees au syst` eme initial. La seconde m´ ethode consiste `
a d´ efinir une suite
d’´ ev´ enements de plus en plus critiques, et le plus souvent de plus en plus difficiles ` a simuler. Dans ce contexte, chacun des niveaux critiques sert pour ainsi
dire de passerelle conduisant `
a la simulation vers des niveaux sup´ erieurs. L’algorithme d’exploration de ces espaces d’al´ eas est fond´ e sur des dynamiques de
population, des processus de branchements et des syst` emes de particules en
interaction. La simulation des populations d’al´ eas possibles s’effectue de fa¸ con
s´ equentielle en s´ electionnant pas `
a pas les transitions al´ eatoires du syst` eme
ayant r´ eussi ` a passer les niveaux sup´ erieurs. Entre deux ´ etapes de s´ election,
l’algorithme explore chacun des niveaux. Ces m´ ethodes de simulation avanc´ ees
permettent de calculer les lois conditionnelles recherch´ ees. Plus pr´ ecis´ ement,
les arbres g´ en´ ealogiques associ´ es ` a ces populations d’al´ eas de type g´ en´ etique,
repr´ esentent les arbres de d´ efauts conduisant le syst` eme dans un r´ egime critique.
15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel
15.2.1 Introduction
Notons X une variable al´ eatoire r´ eelle de densit´ e de probabilit´ e p
X (x).
Notons η(dx) = p
X (x)dx la loi de la variable X. Supposons que nous ayons ` a
calculer une valeur moyenne d’une fonction positive g de cette variable
E (g(X)) =
g(x) p
X (x) dx =
g(x) η(dx) = η(g)