14.8 Travaux pratiques
423
“r´ eelles”du signal. On pourra effectuer cette comparaison pour les valeurs
a = 1/2 et c = 1.
Consid´ erons le probl` eme de filtrage scalaire d´ etermin´ e par les ´ equations
lin´ eaires suivantes :
X n = a X n−1 + b b n W n ,
n≥ 1
Y n = c X n + V n ,
n≥ 0
(14.3)
avec a, b, c ∈ R, X 0 une variable gaussienne de moyenne m 0 et d’´ ecart type σ 0 ;
n une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de Bernoulli de param` etre
p ∈]0, 1[, c’est-` a-dire
∀n ≥ 1 ,
P( n ∈ dx) = p δ 1 (dx) + (1 − p) δ 0 (dx).
une suite de variables ind´ ependantes W n de mˆ eme loi gaussienne centr´ ee et
d’´ ecart type σ w > 0, et enfin une suite de variables ind´ ependantes V n de mˆ eme
loi gaussienne centr´ ee et d’´ ecart type σ v > 0. On conviendra que les variables
X 0 , V n , W n et n sont suppos´ ees ind´ ependantes.
L’´ evolution du signal X (et celle de l’observation Y ) est bien une ´ equation
lin´ eaire, cependant les al´ eas n W n ne sont pas gaussiens. En toute rigueur,
on ne peut donc pas appliquer le filtre de Kalman-Bucy.
Une premi` ere approximation consiste ` a “remplacer” dans le mod` ele de
filtrage (14.3) les perturbations n W n par des variables gaussiennes ˜
W n , de
mˆ eme moyenne et de mˆ eme ´ ecart type que les pr´ ec´ edentes, c’est-` a-dire
∀n ≥ 1 ,
E( ˜
W n ) = 0 et σ
2
˜
w = E( ˜
W
2
n ) = E(( n W n )
2 ) = p σ
2
w .
Le probl` eme de filtrage ainsi modifi´ e s’exprime sous la forme lin´ eaire et gaussienne d´ esir´ ee
˜
X n = a ˜
X n−1 + b ˜
W n ,
n≥ 1
( ˜
X 0 = X 0 )
˜
Y n = c ˜
X n + V n ,
n≥ 0.
En appliquant le filtre de Kalman ` a ce probl` eme lin´ eaire gaussien, on
obtient une solution approch´ ee des esp´ erances conditionnelles associ´ ees au
probl` eme initial
E( ˜
X n | ˜
Y 0 = y 0 , . . . , ˜
Y n = y n ) ∼ E(X n |Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n ).
L’approximation des distributions conditionnelles
P(X n ∈ dx|Y 0 , . . . , Y n )
peut aussi se faire en utilisant l’algorithme g´ en´ etique d´ ecrit dans la section 8.
Dans notre situation, cet algorithme se pr´ esente comme une chaˆ ıne de Markov
` a valeurs dans R
N , o` u N d´ esigne le param` etre d’approximation et le nombre
de particules. On initialise l’algorithme particulaire en simulant un vecteur
ξ 0 = (ξ
1
0 , . . . , ξ
N
0 ) ∈ R
N
423
“r´ eelles”du signal. On pourra effectuer cette comparaison pour les valeurs
a = 1/2 et c = 1.
Consid´ erons le probl` eme de filtrage scalaire d´ etermin´ e par les ´ equations
lin´ eaires suivantes :
X n = a X n−1 + b b n W n ,
n≥ 1
Y n = c X n + V n ,
n≥ 0
(14.3)
avec a, b, c ∈ R, X 0 une variable gaussienne de moyenne m 0 et d’´ ecart type σ 0 ;
n une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de Bernoulli de param` etre
p ∈]0, 1[, c’est-` a-dire
∀n ≥ 1 ,
P( n ∈ dx) = p δ 1 (dx) + (1 − p) δ 0 (dx).
une suite de variables ind´ ependantes W n de mˆ eme loi gaussienne centr´ ee et
d’´ ecart type σ w > 0, et enfin une suite de variables ind´ ependantes V n de mˆ eme
loi gaussienne centr´ ee et d’´ ecart type σ v > 0. On conviendra que les variables
X 0 , V n , W n et n sont suppos´ ees ind´ ependantes.
L’´ evolution du signal X (et celle de l’observation Y ) est bien une ´ equation
lin´ eaire, cependant les al´ eas n W n ne sont pas gaussiens. En toute rigueur,
on ne peut donc pas appliquer le filtre de Kalman-Bucy.
Une premi` ere approximation consiste ` a “remplacer” dans le mod` ele de
filtrage (14.3) les perturbations n W n par des variables gaussiennes ˜
W n , de
mˆ eme moyenne et de mˆ eme ´ ecart type que les pr´ ec´ edentes, c’est-` a-dire
∀n ≥ 1 ,
E( ˜
W n ) = 0 et σ
2
˜
w = E( ˜
W
2
n ) = E(( n W n )
2 ) = p σ
2
w .
Le probl` eme de filtrage ainsi modifi´ e s’exprime sous la forme lin´ eaire et gaussienne d´ esir´ ee
˜
X n = a ˜
X n−1 + b ˜
W n ,
n≥ 1
( ˜
X 0 = X 0 )
˜
Y n = c ˜
X n + V n ,
n≥ 0.
En appliquant le filtre de Kalman ` a ce probl` eme lin´ eaire gaussien, on
obtient une solution approch´ ee des esp´ erances conditionnelles associ´ ees au
probl` eme initial
E( ˜
X n | ˜
Y 0 = y 0 , . . . , ˜
Y n = y n ) ∼ E(X n |Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n ).
L’approximation des distributions conditionnelles
P(X n ∈ dx|Y 0 , . . . , Y n )
peut aussi se faire en utilisant l’algorithme g´ en´ etique d´ ecrit dans la section 8.
Dans notre situation, cet algorithme se pr´ esente comme une chaˆ ıne de Markov
` a valeurs dans R
N , o` u N d´ esigne le param` etre d’approximation et le nombre
de particules. On initialise l’algorithme particulaire en simulant un vecteur
ξ 0 = (ξ
1
0 , . . . , ξ
N
0 ) ∈ R
N