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14 Mod` eles de poursuite et localisation
a n (x) = a, disons a = 6 10
−3 . On suppose de plus que la volatilit´ e du march´ e
est un param` etre al´ eatoire b n oscillant autour de sa condition initiale b 0 selon
l’´ equation suivante
b n = −c (b n−1 − b 0 ) Δ + d Δ
W n
o` u (c, d) d´ esigne un couple de param` etres fix´ es, et Δ
W n une suite d’accroissement al´ eatoires ind´ ependants, du mˆ eme type que ΔW n . Pour fixer les id´ ees
on peut convenir que b 0 = 10
−1 , c = 2, d = 1, et un pas de temps Δ = 10
−3 .
La volatilit´ e du march´ e financier est observ´ ee indirectement par la donn´ ee des
prix des actifs
Y n /Y n−1 = (1 + a n Δ) + b n ΔW n
Le probl` eme de filtrage associ´ e consiste donc `
a calculer les lois conditionnelles
Loi((b 0 , . . . , b n ) | Y 0 , . . . , Y n )
du processus de volatilit´ e connaissant l’´ evolution du prix des actifs.
14.8 Travaux pratiques
L’estimation de signaux num´ eriques partiellement observ´ es, et ayant une
repr´ esentation d’´ etat lin´ eaire et gaussienne, peut s’effectuer de mani` ere exacte
par le filtre de Kalman-Bucy. Cet estimateur dynamique optimal peut aussi
s’interpr´ eter comme une technique de moindres carr´ es r´ ecursives. Dans le cas
scalaire, ces mod` eles lin´ eaires, et gaussiens, s’expriment sous la forme suivante :
X n = a X n−1 + W n ,
n≥ 1
Y n = c X n + V n ,
n≥ 0
(14.2)
avec X 0 , V n , W n+1 , n ≥ 0, une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes
de mˆ eme loi N (0, 1) et, a, c deux nombres r´ eels. La chaˆ ıne de Markov X n
repr´ esente l’´ evolution du signal, et la s´ equence Y n ses observations bruit´ ees.
En pratique, le filtre de Kalman-Bucy utilise les observations fournies par
un capteur de mesure. On dit que ces valeurs sont des donn´ ees r´ eelles
par opposition `
a des s´ equences d’observations que l’on pourrait construire
soi-mˆ eme en simulant la chaˆ ıne de Markov (X, Y ) sur l’ordinateur. Dans ce
dernier cas on parlera de donn´ ees simul´ ees.
Pour construire exp´ erimentalement le filtre de Kalman-Bucy, on r´ ealise
tout d’abord une simulation du syst` eme (14.2). Avant de calculer le filtre
de Kalman-Bucy on stockera dans un fichier les valeurs X n et Y n obtenues
en simulant le syst` eme (14.2). Les observations simul´ ees Y n sont consid´ er´ ees
comme les observations partielles et bruit´ ees de la r´ ealisation “inconnue” du
signal X n . En utilisant le fichier des donn´ ees simul´ ees Y n , on peut calculer
l’´ evolution du filtre de Kalman-Bucy, et comparer ces valeurs avec les valeurs
14 Mod` eles de poursuite et localisation
a n (x) = a, disons a = 6 10
−3 . On suppose de plus que la volatilit´ e du march´ e
est un param` etre al´ eatoire b n oscillant autour de sa condition initiale b 0 selon
l’´ equation suivante
b n = −c (b n−1 − b 0 ) Δ + d Δ
W n
o` u (c, d) d´ esigne un couple de param` etres fix´ es, et Δ
W n une suite d’accroissement al´ eatoires ind´ ependants, du mˆ eme type que ΔW n . Pour fixer les id´ ees
on peut convenir que b 0 = 10
−1 , c = 2, d = 1, et un pas de temps Δ = 10
−3 .
La volatilit´ e du march´ e financier est observ´ ee indirectement par la donn´ ee des
prix des actifs
Y n /Y n−1 = (1 + a n Δ) + b n ΔW n
Le probl` eme de filtrage associ´ e consiste donc `
a calculer les lois conditionnelles
Loi((b 0 , . . . , b n ) | Y 0 , . . . , Y n )
du processus de volatilit´ e connaissant l’´ evolution du prix des actifs.
14.8 Travaux pratiques
L’estimation de signaux num´ eriques partiellement observ´ es, et ayant une
repr´ esentation d’´ etat lin´ eaire et gaussienne, peut s’effectuer de mani` ere exacte
par le filtre de Kalman-Bucy. Cet estimateur dynamique optimal peut aussi
s’interpr´ eter comme une technique de moindres carr´ es r´ ecursives. Dans le cas
scalaire, ces mod` eles lin´ eaires, et gaussiens, s’expriment sous la forme suivante :
X n = a X n−1 + W n ,
n≥ 1
Y n = c X n + V n ,
n≥ 0
(14.2)
avec X 0 , V n , W n+1 , n ≥ 0, une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes
de mˆ eme loi N (0, 1) et, a, c deux nombres r´ eels. La chaˆ ıne de Markov X n
repr´ esente l’´ evolution du signal, et la s´ equence Y n ses observations bruit´ ees.
En pratique, le filtre de Kalman-Bucy utilise les observations fournies par
un capteur de mesure. On dit que ces valeurs sont des donn´ ees r´ eelles
par opposition `
a des s´ equences d’observations que l’on pourrait construire
soi-mˆ eme en simulant la chaˆ ıne de Markov (X, Y ) sur l’ordinateur. Dans ce
dernier cas on parlera de donn´ ees simul´ ees.
Pour construire exp´ erimentalement le filtre de Kalman-Bucy, on r´ ealise
tout d’abord une simulation du syst` eme (14.2). Avant de calculer le filtre
de Kalman-Bucy on stockera dans un fichier les valeurs X n et Y n obtenues
en simulant le syst` eme (14.2). Les observations simul´ ees Y n sont consid´ er´ ees
comme les observations partielles et bruit´ ees de la r´ ealisation “inconnue” du
signal X n . En utilisant le fichier des donn´ ees simul´ ees Y n , on peut calculer
l’´ evolution du filtre de Kalman-Bucy, et comparer ces valeurs avec les valeurs