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14 Mod` eles de poursuite et localisation
des d´ eplacements du pi´ eton. Ces param` etres de vitesse sont choisis en fonction
du mod` ele ´ etudi´ e.
A chaque instant, le t´ el´ ephone mobile est relation avec I stations relais
(R i ) i∈I . Chacune de ses stations R i mesure la puissance attenu´ ee h i (X n )
du signal ´ emis par le t´ el´ ephone mobile sur la position X n . Les ´ equations
d’observations sont donn´ ees sous la forme suivante
Y
(i)
n = h i (X n ) + V
(i)
n
i ∈ I
Les erreurs de mod` ele et les perturbations de mesures sont g´ en´ eralement
d´ ecrites par des variables al´ eatoires V
(i)
n gaussiennes centr´ ees et de variances
E
V
(i)
n
2
1/2
= σ
(i)
n .
Le probl` eme du filtrage correspondant consiste ` a calculer les lois conditionnelles des trajectoires du pi´ eton X sachant les observations Y
(i) , i ∈ I,
fournies par toutes les stations relais. Par simple triangularisation, on notera
qu’il est n´ ecessaire d’avoir au moins trois cartes de couverture pour estimer
raisonnablement la position du t´ el´ ephone mobile sans ambiguit´ e.
14.7 Estimation de volatilit´ e boursi` ere
L’´ evolution des prix d’actifs risqu´ es dans les march´ es financiers sont souvent mod´ elis´ es par des processus al´ eatoires r´ eels de la forme suivante :
Y n = (1 + a n (Y n−1 ) Δ + b n (Y n−1 ) ΔW n ) × Y n−1
Les fonctions (a n , b n ) repr´ esentent respectivement la tendance et la volatilit´ e
du march´ e. Le param` etre Δ > 0 correspond ` a un pas de temps. Les fluctuations al´ eatoires du march´ e sont repr´ esent´ ees par les accroissements
ΔW n = W n − W n−1
d’un processus al´ eatoire W n , tel que W 0 = 0. Elles sont souvent choisies
ind´ ependantes, et de mˆ eme loi gaussienne centr´ ee et de variance Δ. On
conviendra que ces accroissements al´ eatoires sont tels que
(ΔW n )
2
Δ
A titre d’exemple, W n peut correspondre `
a une marche al´ eatoire vers le haut
ou vers le bas, et d´ efinie par la formule
ΔW n = n
√
Δ
avec une suite de variables n ind´ ependantes, et distribu´ ees selon la mˆ eme loi
´
14 Mod` eles de poursuite et localisation
des d´ eplacements du pi´ eton. Ces param` etres de vitesse sont choisis en fonction
du mod` ele ´ etudi´ e.
A chaque instant, le t´ el´ ephone mobile est relation avec I stations relais
(R i ) i∈I . Chacune de ses stations R i mesure la puissance attenu´ ee h i (X n )
du signal ´ emis par le t´ el´ ephone mobile sur la position X n . Les ´ equations
d’observations sont donn´ ees sous la forme suivante
Y
(i)
n = h i (X n ) + V
(i)
n
i ∈ I
Les erreurs de mod` ele et les perturbations de mesures sont g´ en´ eralement
d´ ecrites par des variables al´ eatoires V
(i)
n gaussiennes centr´ ees et de variances
E
V
(i)
n
2
1/2
= σ
(i)
n .
Le probl` eme du filtrage correspondant consiste ` a calculer les lois conditionnelles des trajectoires du pi´ eton X sachant les observations Y
(i) , i ∈ I,
fournies par toutes les stations relais. Par simple triangularisation, on notera
qu’il est n´ ecessaire d’avoir au moins trois cartes de couverture pour estimer
raisonnablement la position du t´ el´ ephone mobile sans ambiguit´ e.
14.7 Estimation de volatilit´ e boursi` ere
L’´ evolution des prix d’actifs risqu´ es dans les march´ es financiers sont souvent mod´ elis´ es par des processus al´ eatoires r´ eels de la forme suivante :
Y n = (1 + a n (Y n−1 ) Δ + b n (Y n−1 ) ΔW n ) × Y n−1
Les fonctions (a n , b n ) repr´ esentent respectivement la tendance et la volatilit´ e
du march´ e. Le param` etre Δ > 0 correspond ` a un pas de temps. Les fluctuations al´ eatoires du march´ e sont repr´ esent´ ees par les accroissements
ΔW n = W n − W n−1
d’un processus al´ eatoire W n , tel que W 0 = 0. Elles sont souvent choisies
ind´ ependantes, et de mˆ eme loi gaussienne centr´ ee et de variance Δ. On
conviendra que ces accroissements al´ eatoires sont tels que
(ΔW n )
2
Δ
A titre d’exemple, W n peut correspondre `
a une marche al´ eatoire vers le haut
ou vers le bas, et d´ efinie par la formule
ΔW n = n
√
Δ
avec une suite de variables n ind´ ependantes, et distribu´ ees selon la mˆ eme loi
´