14.3 Localisation de cibles avec obstacles
413
observations Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n , fournies par le radar altim´ etrique. Pour
plus de pr´ ecisions sur ces mod` eles, nous renvoyons le lecteur `
a article [121].
14.3 Localisation de cibles avec obstacles
Une cible abstraite ´ evolue dans une r´ egion de l’espace contenant des obstacles. Ce derniers peuvent ˆ etre de nature vari´ ee en fonction du probl` eme
physique ´ etudi´ e (accidents de relief, nuages, tunnels, v´ ehicules, immeubles,
etc). Pour fixer les id´ ees nous conviendrons que cette cible ´ evolue sur une
surface plane. Dans ce contexte, le signal est donn´ e par ses deux coordonn´ ees
cart´ esiennes dans le plan
X n =
X
(1)
n
X
(2)
n
L’´ evolution du signal X est donn´ ee par les ´ equations suivantes
X
(1)
n = X
(1)
n−1 + σ
(1)
n W
(1)
n
√
Δ
X
(2)
n = X
(2)
n−1 + σ
(2)
n W
(2)
n
√
Δ
Le param` etre Δ repr´ esente le pas de discr´ etisation temporelle, les suites
W
(i)
n
i=1,2, n≥0
sont form´ ees de variables al´ eatoires ind´ ependentes gaussiennes, centr´ ees et norm´ ees. Comme pr´ ec´ edemment, on notera que ce mod` ele
discret correspond `
a la discr´ etisation du syst` eme dynamique suivant
dX
(1)
t
= σ
(1)
t
dW
(1)
t
dX
(2)
t
= σ
(1)
t
dW
(2)
t
o` u W
(i)
t , i = 1, 2, d´ esignent deux trajectoires browniennes.
Le signal X n est observ´ e par un ensemble de s stations not´ ees (S
i
n ) 1≤i≤s
en mouvement ou non. Pour simplifier nous conviendrons que ces stations
sont fixes S
i
n = S
i . Pour chaque indice 1 ≤ i ≤ s, on notera (P
(i,1) , P
(i,2) )
les coordonn´ ees cart´ esiennes de la station S
(i) dans le plan. Chacune des stations effectue une mesure de l’azimut au mobile. Cette mesure est naturellement bruit´ ee. D’autre part, selon le nombre d’obstacles pr´ esents autour d’elle,
chaque station poss` ede son propre domaine de visibilit´ e. Ce type de capteur
peut ˆ etre formalis´ e de la fa¸ con suivante. Pour chaque indice 1 ≤ i ≤ s, on
note D
(i)
⊂ R
2 le domaine de visibilit´ e de la station S
(i) . Le processus d’observations Y
(i)
n
=
Y
(i,1)
n
, Y
(i,2)
n
associ´ e ` a la station S
(i) localis´ ee au point
(P
(i,1) , P
(i,2) ) est d´ efini par le couple d’´ equations
Y
(i,1)
n
= 1 D (i) (X n )
Y
(i,2)
n
= Y
(i,1)
n
arctan
X
(2)
n −P
(i,2)
X
(1)
n −P (i,1)
+ σ n V n
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observations Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n , fournies par le radar altim´ etrique. Pour
plus de pr´ ecisions sur ces mod` eles, nous renvoyons le lecteur `
a article [121].
14.3 Localisation de cibles avec obstacles
Une cible abstraite ´ evolue dans une r´ egion de l’espace contenant des obstacles. Ce derniers peuvent ˆ etre de nature vari´ ee en fonction du probl` eme
physique ´ etudi´ e (accidents de relief, nuages, tunnels, v´ ehicules, immeubles,
etc). Pour fixer les id´ ees nous conviendrons que cette cible ´ evolue sur une
surface plane. Dans ce contexte, le signal est donn´ e par ses deux coordonn´ ees
cart´ esiennes dans le plan
X n =
X
(1)
n
X
(2)
n
L’´ evolution du signal X est donn´ ee par les ´ equations suivantes
X
(1)
n = X
(1)
n−1 + σ
(1)
n W
(1)
n
√
Δ
X
(2)
n = X
(2)
n−1 + σ
(2)
n W
(2)
n
√
Δ
Le param` etre Δ repr´ esente le pas de discr´ etisation temporelle, les suites
W
(i)
n
i=1,2, n≥0
sont form´ ees de variables al´ eatoires ind´ ependentes gaussiennes, centr´ ees et norm´ ees. Comme pr´ ec´ edemment, on notera que ce mod` ele
discret correspond `
a la discr´ etisation du syst` eme dynamique suivant
dX
(1)
t
= σ
(1)
t
dW
(1)
t
dX
(2)
t
= σ
(1)
t
dW
(2)
t
o` u W
(i)
t , i = 1, 2, d´ esignent deux trajectoires browniennes.
Le signal X n est observ´ e par un ensemble de s stations not´ ees (S
i
n ) 1≤i≤s
en mouvement ou non. Pour simplifier nous conviendrons que ces stations
sont fixes S
i
n = S
i . Pour chaque indice 1 ≤ i ≤ s, on notera (P
(i,1) , P
(i,2) )
les coordonn´ ees cart´ esiennes de la station S
(i) dans le plan. Chacune des stations effectue une mesure de l’azimut au mobile. Cette mesure est naturellement bruit´ ee. D’autre part, selon le nombre d’obstacles pr´ esents autour d’elle,
chaque station poss` ede son propre domaine de visibilit´ e. Ce type de capteur
peut ˆ etre formalis´ e de la fa¸ con suivante. Pour chaque indice 1 ≤ i ≤ s, on
note D
(i)
⊂ R
2 le domaine de visibilit´ e de la station S
(i) . Le processus d’observations Y
(i)
n
=
Y
(i,1)
n
, Y
(i,2)
n
associ´ e ` a la station S
(i) localis´ ee au point
(P
(i,1) , P
(i,2) ) est d´ efini par le couple d’´ equations
Y
(i,1)
n
= 1 D (i) (X n )
Y
(i,2)
n
= Y
(i,1)
n
arctan
X
(2)
n −P
(i,2)
X
(1)
n −P (i,1)
+ σ n V n