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14 Mod` eles de poursuite et localisation
avec la fonction azimut (x, y) → arctan
y
x
d´ efinie pour chaque (x, y) ∈
R
2
− {(0, 0)} par la formule suivante
arctan
y
x
:=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
y
|y| arctan
y
x
si y = 0, et x > 0
y
|y|
π
2
si y = 0, et x = 0
y
|y|
π − arctan
y
x
si y = 0, et x > 0
0
s iy = 0, et x > 0
π
si y = 0, et x < 0
(14.1)
Cette fonction est parfois not´ ee atan2(x, y). Les perturbations de mesures
(V n ) n≥0 sont une suite de variables ind´ ependantes des v.a. pr´ ec´ edentes, et
ind´ ependantes, gaussiennes, centr´ ees et norm´ ees. Les param` etres de fluctuation des erreurs de mesures σ n d´ ependent de la qualit´ e des capteurs de la
station.
On remarquera que chaque station a la possibilit´ e de voir si la cible est
pr´ esente ou non dans son champ de visibilit´ e. Cette information est port´ ee
par la premi` ere composante Y
(i,1)
n
du processus d’observation Y
(i)
n . Lorsque
Y
(i,1)
n
= 1, la cible est dans le champ de vision, lorsque Y
(i,1)
n
= 0 la cible est
masqu´ ee par les obstacles. Dans le premier cas, la station effectue une mesure
de l’azimut `
a la cible. Cette mesure est bruit´ ee par des perturbations gaussiennes V n . Dans le second cas, l’observation ne fournit aucune information
et on convient que Y
(i,2)
n
= 0. Comme pr´ ec´ edemment, le probl` eme du filtrage
consiste `
a calculer les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les mesures
d’azimut bruit´ ees fournies par toutes les stations.
Pour plus de pr´ ecisions sur ces mod` eles, nous renvoyons le lecteur `
a article [116].
Une illustration graphique de ces mod` eles de localisation avec obstacles
est donn´ ee dans la figure 14.3.
14.4 Le mod` ele cin´ etique d’Ackermann
Un v´ ehicule se d´ eplace sur une surface plane munie de balises de positions.
La position de ce mobile dans le plan est donn´ ee par un mod` ele form´ e de quatre
coordonn´ ees
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
(1)
t
X
(2)
t
X
(3)
t
X
(4)
t
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Les deux premi` eres composantes repr´ esentent les coordonn´ ees dans le rep` ere
cart´ ersien du plan, la troisi` eme repr´ esente la vitesse longitudinale, et la quatri` eme repr´ esente l’angle d’orientation du robot (par rapport a l’axe horizontal du rep` ere du plan). Dans le mod` ele d’Ackermann, les variations de l’angle
14 Mod` eles de poursuite et localisation
avec la fonction azimut (x, y) → arctan
y
x
d´ efinie pour chaque (x, y) ∈
R
2
− {(0, 0)} par la formule suivante
arctan
y
x
:=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
y
|y| arctan
y
x
si y = 0, et x > 0
y
|y|
π
2
si y = 0, et x = 0
y
|y|
π − arctan
y
x
si y = 0, et x > 0
0
s iy = 0, et x > 0
π
si y = 0, et x < 0
(14.1)
Cette fonction est parfois not´ ee atan2(x, y). Les perturbations de mesures
(V n ) n≥0 sont une suite de variables ind´ ependantes des v.a. pr´ ec´ edentes, et
ind´ ependantes, gaussiennes, centr´ ees et norm´ ees. Les param` etres de fluctuation des erreurs de mesures σ n d´ ependent de la qualit´ e des capteurs de la
station.
On remarquera que chaque station a la possibilit´ e de voir si la cible est
pr´ esente ou non dans son champ de visibilit´ e. Cette information est port´ ee
par la premi` ere composante Y
(i,1)
n
du processus d’observation Y
(i)
n . Lorsque
Y
(i,1)
n
= 1, la cible est dans le champ de vision, lorsque Y
(i,1)
n
= 0 la cible est
masqu´ ee par les obstacles. Dans le premier cas, la station effectue une mesure
de l’azimut `
a la cible. Cette mesure est bruit´ ee par des perturbations gaussiennes V n . Dans le second cas, l’observation ne fournit aucune information
et on convient que Y
(i,2)
n
= 0. Comme pr´ ec´ edemment, le probl` eme du filtrage
consiste `
a calculer les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les mesures
d’azimut bruit´ ees fournies par toutes les stations.
Pour plus de pr´ ecisions sur ces mod` eles, nous renvoyons le lecteur `
a article [116].
Une illustration graphique de ces mod` eles de localisation avec obstacles
est donn´ ee dans la figure 14.3.
14.4 Le mod` ele cin´ etique d’Ackermann
Un v´ ehicule se d´ eplace sur une surface plane munie de balises de positions.
La position de ce mobile dans le plan est donn´ ee par un mod` ele form´ e de quatre
coordonn´ ees
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
(1)
t
X
(2)
t
X
(3)
t
X
(4)
t
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Les deux premi` eres composantes repr´ esentent les coordonn´ ees dans le rep` ere
cart´ ersien du plan, la troisi` eme repr´ esente la vitesse longitudinale, et la quatri` eme repr´ esente l’angle d’orientation du robot (par rapport a l’axe horizontal du rep` ere du plan). Dans le mod` ele d’Ackermann, les variations de l’angle