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14 Mod` eles de poursuite et localisation
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dX
(1)
t
= X
(3)
t
cos
X
(4)
t
dt
dX
(2)
t
= X
(3)
t
sin
X
(4)
t
dt
dX
(3)
t
= σ t dW t
dX
(4)
t
= σ
t dW
t
o` u W t et W
t d´ esignent deux trajectoires browniennes. Enfin, on notera que la
vitesse X
(3)
t
et le cap X
(4)
t
de l’avion correspondent respectivement ` a l’angle et
au rayon des coordonn´ ees polaires associ´ ees ` a la position de l’avion. A chaque
instant n, l’avion mesure sa propre altitude par un radar altim´ etrique. Le
processus d’observation correspondant est d´ efini par les ´ equations
∀n ≥ 0 ,
Y n = H(X n ) + W
n
La fonction x → H(x) qui mesure la hauteur relative de l’avion est repr´ esent´ ee
dans la figure 14.2.
Fig. 14.2. Altitude et ´ evolution de l’avion sur une carte
Les perturbations de mesures (W
n ) n≥0 sont une suite de variables ind´ ependantes des v.a. pr´ ec´ edentes, et ind´ ependantes, gaussiennes, centr´ ees et d’´ ecarts
types (σ
n ) n≥0 . Comme pr´ ec´ edemment, le probl` eme du filtrage consiste `
a calculer, ou plutˆ ot `
a estimer, les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les