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Mod` eles de poursuite et localisation
14.1 Poursuite de cible et signaux radar
Le mod` ele que nous proposons est issu d’un mod` ele de filtrage de signaux
radar. Cette chaˆ ıne de Markov est appel´ e le mod` ele de Singer. L’espace
d’´ etat est ici R
3 . Le signal correspond ` a l’´ evolution d’une cible abstraite ponctuelle form´ e de trois coordonn´ ees
X n =
⎛
⎜
⎝
X
(1)
n
X
(2)
n
X
(3)
n
⎞
⎟
⎠
La premi` ere coordonn´ ee X
(1)
n repr´ esente les acc´ el´ erations, la seconde X
(2)
n
les vitesses, et la derni` ere X
(3)
n les positions.
L’´ evolution du signal X est donn´ ee par les ´ equations suivantes
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
X
(1)
n = X
(1)
n−1 + n W n
X
(2)
n = (1 − α Δ) X
(2)
n−1 + β Δ X
(1)
n
X
(3)
n = X
(3)
n−1 + Δ X
(2)
n
avec des coefficients de viscosit´ es α = 1 et β = 18, et des conditions initiales
gaussiennes X
(1)
0 ∼ N (30, σ 0 ), X
(2)
0 et X
(3)
0 ∼ N (500, σ 0 ) avec σ 0 ∈ {10, 100}.
Le param` etre Δ = 10
−2 correspond ` a la p´ eriode d’´ echantillonnage du radar.
La suite ( n ) n≥1 est form´ ee de v.a. ind´ ependantes de Bernoulli de param` etre
Δ. Ces derni` eres repr´ esentent les instants al´ eatoires o` u la cible acc´ el` ere. Enfin
la suite (W n ) n≥1 repr´ esente les amplitudes des acc´ el´ erations. On peut supposer
par exemple que cette suite est form´ ee de v.a. ind´ ependantes et uniformes sur
l’intervalle [0, 60].
Le lecteur avis´ e aura tr` es probablement not´ e que ce mod` ele discret correspond ` a la discr´ etisation du syst` eme dynamique suivant
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_14,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Mod` eles de poursuite et localisation
14.1 Poursuite de cible et signaux radar
Le mod` ele que nous proposons est issu d’un mod` ele de filtrage de signaux
radar. Cette chaˆ ıne de Markov est appel´ e le mod` ele de Singer. L’espace
d’´ etat est ici R
3 . Le signal correspond ` a l’´ evolution d’une cible abstraite ponctuelle form´ e de trois coordonn´ ees
X n =
⎛
⎜
⎝
X
(1)
n
X
(2)
n
X
(3)
n
⎞
⎟
⎠
La premi` ere coordonn´ ee X
(1)
n repr´ esente les acc´ el´ erations, la seconde X
(2)
n
les vitesses, et la derni` ere X
(3)
n les positions.
L’´ evolution du signal X est donn´ ee par les ´ equations suivantes
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
X
(1)
n = X
(1)
n−1 + n W n
X
(2)
n = (1 − α Δ) X
(2)
n−1 + β Δ X
(1)
n
X
(3)
n = X
(3)
n−1 + Δ X
(2)
n
avec des coefficients de viscosit´ es α = 1 et β = 18, et des conditions initiales
gaussiennes X
(1)
0 ∼ N (30, σ 0 ), X
(2)
0 et X
(3)
0 ∼ N (500, σ 0 ) avec σ 0 ∈ {10, 100}.
Le param` etre Δ = 10
−2 correspond ` a la p´ eriode d’´ echantillonnage du radar.
La suite ( n ) n≥1 est form´ ee de v.a. ind´ ependantes de Bernoulli de param` etre
Δ. Ces derni` eres repr´ esentent les instants al´ eatoires o` u la cible acc´ el` ere. Enfin
la suite (W n ) n≥1 repr´ esente les amplitudes des acc´ el´ erations. On peut supposer
par exemple que cette suite est form´ ee de v.a. ind´ ependantes et uniformes sur
l’intervalle [0, 60].
Le lecteur avis´ e aura tr` es probablement not´ e que ce mod` ele discret correspond ` a la discr´ etisation du syst` eme dynamique suivant
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_14,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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