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13 Analyse bay´ esienne
En utilisant les approximations particulaires Q
(θ,N )
n
des lois normalis´ ees Q
(θ)
n
d´ ecrites en (8.20), on obtient les algorithmes de gradient particulaires d´ efinis
par l’´ equation (13.12).
Plus formellement, si l’on pose θ
N
k = (a
N
k , b
N
k , c
N
k ), cet algorithme est donn´ e
par les ´ equations suivantes
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a
N
k+1 = a
N
k + τ k+1 n
b
N
k
−2 Q
(θ k ,N )
n
(f
1
n − a
N
k f
2
n )
b
N
k+1 = b
N
k + τ k+1 n
b
N
k
−1
−1 +
b
N
k
−2 Q
(θ k ,N )
n
(f
3
n )
c
N
k+1 = c
N
k + τ k+1 n
c
N
k
−1
−1 +
c
N
k
−2 Q
(θ k ,N )
n
(f
4
n )
13.6.5 Algorithme esp´ erance-maximisation
En utilisant les formules de d´ erivation (13.17), (13.18), et (13.19), on v´ erifie
ais´ ement que
∂Q
(θ k−1 )
n
L
(θ)
n
∂θ 1
=
n
b 2
Q
(θ k−1 )
n
(f
1
n − a f
2
n )
∂Q
(θ k−1 )
n
L
(θ)
n
∂θ 2
=
n
b
−1 +
1
b 2 Q
(θ k−1 )
n
(f
3
n )
∂Q
(θ k−1 )
n
L
(θ)
n
∂θ 3
=
n
c
−1 +
1
c 2 Q
(θ k−1 )
n
(f
4
n )
avec θ = (θ
1 , θ
2 , θ
3 ) = (a, b, c) ∈] − 1, 1[×]0, ∞[
2 .
La r´ esolution de l’´ equation du point extr´ emal local θ = θ k connaissant la
valeur pr´ ec´ edente du param` etre θ k−1
∇Q
(θ k−1 )
n
L
(θ)
n
= 0
est donc donn´ ee explicitement par les formules
θ
1
k := Q
(θ k−1 )
n
(f
1
n )/Q
(θ k−1 )
n
(f
2
n )
θ
2
k :=
Q
(θ k−1 )
n
(f 3
n ) et θ
3
k :=
Q
(θ k−1 )
n
(f 4
n )
L’algorithme EM d´ eterministe (13.15) est donn´ e par les formules r´ ecursives
suivantes
θ k = F n
Q
(θ k−1 )
n
(f
1
n ), Q
(θ k−1 )
n
(f
2
n ), Q
(θ k−1 )
n
(f
3
n ), Q
(θ k−1 )
n
(f
4
n )
avec la fonction homog` ene en temps
F n (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = (u 1 /u 2 ,
√ u 3 ,
√ u 4 )
En rempla¸ cant les mesures Q
(θ k−1 )
n
par leurs approximations particulaires
Q
(θ k−1 ,N )
n
l’algorithme EM particulaire (13.16) est donn´ e par
θ
N
k = F n
Q
(θ k−1 ,N )
n
(f
1
n ), Q
(θ k−1 ,N )
n
(f
2
n ), Q
(θ k−1 ,N )
n
(f
3
n ), Q
(θ k−1 ,N )
n
(f
4
n )