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14 Mod` eles de poursuite et localisation
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dX
(1)
t
= W t dN t
dX
(2)
t
dt
= −α X
(2)
t
+ β X
(1)
t
dX
(3)
t
dt
= X
(2)
t
o` u W t , N t d´ esignent respectivement une trajectoire brownienne et poissonnienne.
Le syst` eme dynamique discret peut se repr´ esenter sous la forme vectorielle
suivante
X n = A X n−1 + U n
avec la matrice A, et les vecteurs al´ eatoires U n , donn´ es par
A =
⎛
⎝
1
0
0
β Δ (1 − α Δ) 0
0
Δ
1
⎞
⎠
et
U n =
⎛
⎝
n W n
0
0
⎞
⎠
Le processus d’observations est d´ efini par les ´ equations
∀n ≥ 0 ,
Y n = X
(3)
n + Δ V n
Les perturbations de mesures V = (V n ) n≥1 sont une suite de variables
ind´ ependantes des v.a. pr´ ec´ edentes, et ind´ ependantes de mˆ eme loi gaussienne
centr´ ee et d’´ ecart type σ
2
v = 100. Le probl` eme du filtrage consiste `
a calculer,
ou plutˆ ot ` a estimer, les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les observations Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n , fournies par le radar. Une illustration graphique
de ce probl` eme de filtrage radar est donn´ ee dans la figure 12.1. Pour plus de
pr´ ecisions sur ces mod` eles, nous renvoyons le lecteur `
a article [140].
14.2 Localisation et signaux radar altim´ etrique
Un avion se d´ eplace au dessus d’un terrain et mesure `
a chaque instant sa
distance au point situ´ e `
a sa verticale. Dans ce contexte, le signal correspond
` a l’´ evolution de l’avion d´ ecrite dans le plan par un mod` ele form´ e de quatre
coordonn´ ees
X n =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
(1)
n
X
(2)
n
X
(3)
n
X
(4)
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Les deux premi` eres composantes
X
(1)
n
X
(2)
n
repr´ esentent les coordonn´ ees dans
le rep` ere cart´ esien du plan, la troisi` eme X
(3)
n repr´ esente la vitesse de l’avion,
enfin la quatri` eme X
(4)
n repr´ esente le cap de l’avion. L’´ evolution dans le plan
14 Mod` eles de poursuite et localisation
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
dX
(1)
t
= W t dN t
dX
(2)
t
dt
= −α X
(2)
t
+ β X
(1)
t
dX
(3)
t
dt
= X
(2)
t
o` u W t , N t d´ esignent respectivement une trajectoire brownienne et poissonnienne.
Le syst` eme dynamique discret peut se repr´ esenter sous la forme vectorielle
suivante
X n = A X n−1 + U n
avec la matrice A, et les vecteurs al´ eatoires U n , donn´ es par
A =
⎛
⎝
1
0
0
β Δ (1 − α Δ) 0
0
Δ
1
⎞
⎠
et
U n =
⎛
⎝
n W n
0
0
⎞
⎠
Le processus d’observations est d´ efini par les ´ equations
∀n ≥ 0 ,
Y n = X
(3)
n + Δ V n
Les perturbations de mesures V = (V n ) n≥1 sont une suite de variables
ind´ ependantes des v.a. pr´ ec´ edentes, et ind´ ependantes de mˆ eme loi gaussienne
centr´ ee et d’´ ecart type σ
2
v = 100. Le probl` eme du filtrage consiste `
a calculer,
ou plutˆ ot ` a estimer, les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les observations Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n , fournies par le radar. Une illustration graphique
de ce probl` eme de filtrage radar est donn´ ee dans la figure 12.1. Pour plus de
pr´ ecisions sur ces mod` eles, nous renvoyons le lecteur `
a article [140].
14.2 Localisation et signaux radar altim´ etrique
Un avion se d´ eplace au dessus d’un terrain et mesure `
a chaque instant sa
distance au point situ´ e `
a sa verticale. Dans ce contexte, le signal correspond
` a l’´ evolution de l’avion d´ ecrite dans le plan par un mod` ele form´ e de quatre
coordonn´ ees
X n =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
(1)
n
X
(2)
n
X
(3)
n
X
(4)
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Les deux premi` eres composantes
X
(1)
n
X
(2)
n
repr´ esentent les coordonn´ ees dans
le rep` ere cart´ esien du plan, la troisi` eme X
(3)
n repr´ esente la vitesse de l’avion,
enfin la quatri` eme X
(4)
n repr´ esente le cap de l’avion. L’´ evolution dans le plan