13.6 Illustration des algorithmes de gradient et EM
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X n = a X n−1 + b W n
Y n = c h n (X n ) V n
Les variables X 0 , W n , V n sont des variables gaussiennes centr´ ees norm´ ees
ind´ ependantes, et h n d´ esigne une fonction strictement positive. Dans cette
situation, le param` etre inconnu est donn´ e par le triplet
θ = (θ
1 , θ
2 , θ
3 ) = (a, b, c) ∈] − 1, 1[×]0, ∞[
2
Ce mod` ele est une extension d’un des mod` eles de qualibration de volatilit´ es
stochastiques utilis´ es pour le pricing d’options financi` eres [46, 47, 128]. Dans
ce contexte, la fonction de capteur h n est donn´ ee par h n (X n ) = e
Xn/2 . Le
param` etre c d´ esigne la volatilit´ e modale, a la tendance des variations et des
chocs de volatilit´ es, b l’´ ecart type des fluctuations des volatilit´ es X n .
13.6.2 Calcul des log-vraisemblances
La loi conditionnelle des trajectoires al´ eatoires (X 0 , . . . , X n ) de la chaˆ ıne
de Markov, connaissant le param` etre θ et les observations (y 0 , . . . , y n−1 ) est
donn´ ee par
Q
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
= dp((x 0 , . . . , x n ) | θ, (y 0 , . . . , y n−1 ))
=
1
Z n (θ)
exp
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
[λ 0 ⊗ . . . ⊗ λ n ] (d(x 0 , . . . , x n ))
Par construction, les fonctions de log-vraisemblance conditionnelles L
(θ)
n des
trajectoires sont donn´ ees par l’´ equation suivante :
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n ) =
0≤k≤n
log
G θ,k−1 (x k−1 ) H
(θ)
k (x k−1 , x k )
Dans la formule ci-dessus, les densit´ es de probabilit´ e du point initial H
(θ)
0 sont
les densit´ es gaussiennes centr´ ees et norm´ ees
H
(θ)
0 (x 0 ) = p(x 0 | x −1 , θ) = p(x 0 | θ) =
1
√
2π
exp
−
x
2
0
2
Les densit´ es de probabilit´ e des transitions sont clairement donn´ ees par les
densit´ es gaussiennes
H
(θ)
k (x k−1 , x k ) = p(x k | x k−1 , θ) =
1
√
2πb
exp
−
(x k − ax k−1 )
2
2b 2
Enfin, les fonctions de vraisemblance conditionnelles locales des observations
courantes sont donn´ ees par la formule