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13 Analyse bay´ esienne
G θ,k (x k ) = p(y k | θ, x k ) =
1
√
2πc
exp
−
(y k /h k (x k ))
2
2c 2
+ log h k (x k )
On obtient ainsi la formule
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n ) =
0≤k log
1
√
2πc
e
−
1
2
(y k /h k (x k )) 2
c 2
+log h
2
k (x k )
+
1≤k≤n
log
1
√
2πb
exp −
(x k − ax k−1 )
2
2b 2
+ log
1
√
2π
exp −
x
2
0
2
En d´ eveloppant les logarithmes, on en conclut la formule suivante
L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
= −n log (
√
2πb) − n log (
√
2πc) − log (
√
2π) − x
2
0 /2
−
1
2
0≤k (y k /h k (x k ))
2
c 2
+ log h
2
k (x k )
−
1
2
1≤k≤n
(x k −ax k−1 )
2
b 2
13.6.3 Formules de d´ erivation
Les algorithmes de gradient et EM sont fond´ es sur le calcul des d´ eriv´ ees
des fonctions de vraisemblance d´ ecrites dans la section pr´ ec´ edentes (cf. (13.10)
et (13.14)). On rappelle que le param` etre inconnu est ici donn´ e par le triplet
θ = (θ
1 , θ
2 , θ
3 ) = (a, b, c) ∈] − 1, 1[×]0, ∞[
2
Avec ces notations, il est assez ais´ e de v´ erifier que
∂L
(θ)
n (x 0 , . . . , x n )
∂θ 1
=
1≤k≤n
(x k x k−1 − ax
2
k−1 )
b 2
=
1
b 2
1≤k≤n
x k x k−1 −
a
b 2
0≤k x
2
k
Autrement dit, nous avons
∂L
(θ)
n
∂θ 1 =
n
b 2
f
1
n − af
2
n
(13.17)
avec le couple de fonctionnelles additives normalis´ ees (f
1
n , f
2
n ) donn´ ees par les
fonctions de corr´ elation temporelles et d’´ energie moyenne le long des trajectoires