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13 Analyse bay´ esienne
P θ,n (d(x 0 , . . . , x n )) = η
θ,0 (dx 0 )M θ,1 (x 0 , dx 1 ) . . . M θ,n (x n−1 , dx n )
Par construction
P((Θ, (X 0 , . . . , X n )) ∈ d(θ, (x 0 , . . . , x n )) | (Y
0 , . . . , Y
n−1 ) = (z 0 , . . . , z n−1 ))
=
1
Z
()
n
⎧
⎨
⎩
0≤p G
()
θ,p (x p )
⎫
⎬
⎭
μ(dθ) P θ,n (d(x 0 , . . . , x n ))
o` u Z
()
n d´ esigne une constante de normalisation (d´ ependant de la s´ equence
d’observations z p , 0 ≤ p < n, et du param` etre de r´ egularisation ), et les fonctions G
()
θ,n sont donn´ ees pour tout x n = (x n , y n ) ∈
E × R
d
par la formule
G
()
θ,n (x n ) = g ,n ((x n , y n ), z n )
(13.8)
En utilisant les mˆ emes arguments que ceux d´ evelopp´ es dans la section 13.2,
on d´ emontre ais´ ement les deux d´ ecompositions suivantes :
Les lois conditionnelles des trajectoires (X 0 , . . . , X n ), sachant Θ = θ et
la suite d’observations virtuelles (Y
0 , . . . , Y
n−1 ) = (z 0 , . . . , z n−1 ), sont
donn´ ees par les mesures de Feynman-Kac d´ efinies par
Q
()
θ,n (d(x 0 , . . . , x n )) =
1
Z
()
n (θ)
⎧
⎨
⎩
0≤p G
θ,p (x p )
⎫
⎬
⎭
P θ,n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec les constantes de normalisation
Z
()
n (θ) = E
⎛
⎝
0≤p G
θ,p (X p ) | Θ = θ
⎞
⎠ =
0≤p η
()
θ,p (G
()
θ,p )
o` u η
()
θ,p d´ esigne la marginale de Q
()
θ,n par rapport `
a la p-i` eme coordonn´ ee
x p = (x p , y p ) ∈ (E × R
d ).