13.3 Calcul bay´ esien approch´ e
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point, et pour chaque valeur du param` etre θ. Dans certaines situations, ces
fonctions sont difficiles ou impossibles ` a calculer [41], mais ces derni` eres sont
ais´ ement simulables. Dans ce contexte, l’id´ ee du calcul bayesien approch´ e est
de travailler sur un espace d’´ etat ´ etendu muni de nouvelles fonctions de vraisemblances. Ces mod` eles de filtrage stochastiques approch´ es sont d´ evelopp´ es
dans la section 12.2.5.
Dans le cadre des mod` eles de chaˆ ıne de Markov cach´ ees pr´ esent´ es dans la
section 13.2, ces mod` eles approch´ es s’expriment de la fa¸ con suivante :
Conditionnellement ` a une valeur du param` etre Θ = θ, le couple
X n = (X n , Y n ) ∈ (E × R
d )
forme une chaˆ ıne de Markov de transitions de probabilit´ es
P (X n ∈ d(x
, y
) | X n−1 = (x, y), Θ = θ)
:= M θ,n (X n−1 , d(x
, y
)) = M θ,n (x, dx
) g θ,n (x
, y
) λ θ,n (dy
)
et de loi initiale Loi(X 0 ) = η
η,0 donn´ ee par
P (X 0 ∈ d(x, y)) := η
η,0 (d(x, y)) = η θ,0 (dx) g θ,0 (x, y) λ θ,0 (dy)
Les fonctions de vraisemblances approch´ ees sont bas´ ees sur des densit´ es d’observations virtuelles conditionnelles aux valeurs de la seconde composante Y n
de la chaˆ ıne X n = (X n , Y n ) avec les observations r´ eelles y n .
Plus pr´ ecis´ ement, on consid` ere la chaˆ ıne de Markov ´ etendue
(X n , Y
n ) = ((X n , Y n ), Y
) ∈
E × R
d
× R
d
de transitions de probabilit´ es donn´ ees par la formule suivante :
P
(X n , Y
n ) ∈ d(x, y) | (X n−1 , Y
n−1 ) , Θ = θ
= M θ,n (X n−1 , dx) g ,n (x, y) dy
(13.7)
Dans la formule pr´ ec´ edente g ,n d´ esigne une des suites de fonctions de vraisemblance d´ ecrites en (12.22) ou en (12.25).
13.3.2 Repr´ esentation des lois conditionnelles
Avec ces notations, la distribution conditionnelle d’une trajectoire al´ eatoire
(X 0 , . . . , X n ) sachant Θ = θ est donn´ ee par