13.2 Chaˆ ınes de Markov cach´ ees
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13.2.1 Descriptions bay´ esiennes
Avec des notations bay´ esiennes, nous avons les correspondances suivantes :
G θ,n (x n ) = p(y n |x n , θ) et M θ,n (x n−1 , dx n ) = dp(x n |x n−1 , θ)
η θ,n (dx n ) = dp(x n | (y 0 , . . . , y n−1 ), θ)
Z n+1 (θ) = p(y 0 , . . . , y n |θ) =
0≤p≤n
h p (θ) et Z n+1 = p(y 0 , . . . , y n )
avec les fonctions de vraisemblance locale du param` etre θ
h p (θ) = η θ,p (G θ,p )
= p(y p |y 0 , . . . , y p−1 , θ) =
p(y p |x p , θ) dp(x p |θ, y 0 , . . . , y p−1 )
et les lois a priori
μ(dθ) = dp(θ) et P θ,n (d(x 0 , . . . , x n )) = dp((x 0 , . . . , x n ) | θ)
Il en d´ ecoule les repr´ esentations des lois conditionnelles suivantes :
μ n+1 (dθ) = dp(θ | (y 0 , . . . , y n )) =
1
p(y 0 , . . . , y n )
p(y 0 , . . . , y n |θ) dp(θ)
et
Q θ,n (d(x 0 , . . . , x n ))
= dp((x 0 , . . . , x n ) | θ, (y 0 , . . . , y n−1 ))
=
1
p(y0,...,yn−1|θ)
0≤p dp((x 0 , . . . , x n ) | θ)
(13.3)