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13 Analyse bay´ esienne
Les lois conditionnelles des trajectoires (X 0 , . . . , X n ), sachant Θ = θ et
(Y 0 , . . . , Y n−1 ) = (y 0 , . . . , y n−1 ), sont donn´ ees par les mesures de FeynmanKac d´ efinies par
Q θ,n (d(x 0 , . . . , x n )) =
1
Z n (θ)
⎧
⎨
⎩
0≤p G θ,p (x p )
⎫
⎬
⎭
P θ,n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec les constantes de normalisation
Z n (θ) = E
⎛
⎝
0≤p G θ,p (X p ) | Θ = θ
⎞
⎠ =
0≤p η θ,p (G θ,p )
o` u η θ,p d´ esigne la marginale de Q θ,n par rapport `
a la p-i` eme coordonn´ ee x p .
Les lois conditionnelles du param` etre Θ = θ, sachant (Y 0 , . . . , Y n−1 ) =
(y 0 , . . . , y n−1 ) sont donn´ ees par les mesures μ n d´ efinies par
μ n (dθ) :=
1
Z n
Z n (θ) μ(dθ) =
1
Z n
⎧
⎨
⎩
0≤p h p (θ)
⎫
⎬
⎭
μ(dθ)
avec la constante de normalisation Z n =
Z n (θ) μ(dθ), et les fonctions h n
sur S d´ efinies par
h n (θ) = η θ,n (G θ,n )
(13.2)
Ces deux propri´ et´ es d´ ecoulent de la d´ ecomposition de mesures suivante :
P((Θ, (X 0 , . . . , X n )) ∈ d(θ, (x 0 , . . . , x n )) | (Y 0 , . . . , Y n−1 ) = (y 0 , . . . , y n−1 ))
= Q θ,n (d(x 0 , . . . , x n )) ×
1
Z n
Z n (θ) μ(dθ)
Pour chaque valeur fix´ ee θ, les mesures de Feynman-Kac Q θ,n peuvent ˆ etre
calcul´ ees de diverses fa¸ cons, en utilisant les mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques
d´ ecrits dans la section 8.3.2, ou les estimations particulaires `
a rebours d´ ecrites
dans la section 8.3.3, ou encore l’une des variantes d´ ecrites dans la section 8.4.
Ces mod` eles stochastiques font partie des familles de mod` eles de FeynmanKac param´ etriques d´ evelopp´ es dans la section 9.4. Dans les trois sections
suivantes, nous revisiterons les trois techniques de simulation de ces lois
pr´ esent´ ees dans la section 9.4.2, et dans la section 9.4.3.