13.2 Chaˆ ınes de Markov cach´ ees
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En reprenant les notations de la section 12.2.2, nous noterons (X n , Y n )
un couple signal-observation d´ ependant d’une variable al´ eatoire inconnue Θ
distribu´ ee sur un espace S selon une loi de probabilit´ e μ. Plus pr´ ecis´ ement,
conditionnellement ` a une r´ ealisation Θ = θ, le couple (X n , Y n ) forme une
chaˆ ıne de Markov ` a valeurs dans l’espace produit (E × R
d ), de loi initiale
P ((X 0 , Y 0 ) ∈ d(x 0 , y 0 ) | Θ = θ) = η θ,0 (dx 0 ) g θ,0 (y 0 , x 0 ) λ θ,0 (dy 0 )
et de transitions de probabilit´ es
P ((X n , Y n ) ∈ d(x n , y n ) | (X n−1 , Y n−1 ) = (x n−1 , y n−1 ), Θ = θ)
= M θ,n (x n−1 , dx n ) g θ,n (y n , x n ) λ θ,n (dy n )
pour des familles de transitions locales M θ,n , de fonctions de vraisemblances
g θ,n , et des mesures de r´ ef´ erence λ θ,n , index´ ees par le param` etre θ ∈ S.
Par construction, nous avons
P((Θ, (X 0 , . . . , X n )) ∈ d(θ, (x 0 , . . . , x n )) | (Y 0 , . . . , Y n−1 ) = (y 0 , . . . , y n−1 ))
=
1
Z n
⎧
⎨
⎩
0≤p G θ,p (x p )
⎫
⎬
⎭
μ(dθ) P θ,n (d(x 0 , . . . , x n ))
o` u Z n d´ esignent des constantes de normalisation (d´ ependant de la s´ equence
d’observations),
G θ,n (x n ) = g θ,n (y n , x n )
(13.1)
et P θ,n est la distribution conditionnelle d’une trajectoire al´ eatoire
(X 0 , . . . , X n ) sachant Θ = θ.
Autrement dit, nous avons
P θ,n (d(x 0 , . . . , x n )) = η θ,0 (dx 0 )M θ,1 (x 0 , dx 1 ) . . . M θ,n (x n−1 , dx n )
Il en d´ ecoule les deux repr´ esentations suivantes :