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13 Analyse bay´ esienne
La formule pr´ ec´ edente est quelque peu abusive puisque nous avons utilis´ e
la mˆ eme notation p(.) pour d´ esigner la densit´ e conditionnelle p(y|θ) de la
variable Y sachant Θ = θ, la loi p(θ) de la variable Θ, ainsi que la constante
de normalisation p(y).
Ces abus de notation n’induisent aucune ambigu¨ ıt´ e, et sont tr` es fr´ equents
dans les ouvrages et les articles de statistique bay´ esienne.
Plus rigoureusement, supposons que le couple de variables al´ eatoires (Θ, Y )
est distribu´ e sur un espace produit (E × F ) selon une loi de probabilit´ e ayant
la forme suivante
Proba ((Θ, Y ) ∈ d(θ, y)) = μ(dθ) g(θ, y) λ(dy)
Dans la formule ci-dessus, d(θ, y) d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point
(θ, y) ∈ (E × F ), μ d´ esigne une mesure de probabilit´ e sur E, g une fonction
positive sur (E ×F ), et enfin λ une mesure de r´ ef´ erence sur F (par exemple, la
mesure de Lebesgue λ(dy) = dy sur l’espace euclidien F = R
d ). Par construction, nous avons
Proba (Θ ∈ dθ) = μ(dθ) et Proba(Y ∈ dy | Θ = θ) = g(θ, y) λ(dy)
Par cons´ equent, la loi conditionnelle de Θ sachant Y = y est donn´ ee par la
formule suivante
Proba (Θ ∈ dθ | Y = y) =
1
μ(g(., y))
g(θ, y) μ(dθ)
Sur des espaces produits euclidiens (E × F ) = R
d1+d2 , munis de la mesure de
Lebesque produit dθ × dy, nous avons les correspondances suivantes
p(θ)dθ = μ(dθ)
p(y|θ) = g(θ, y) et p(y) = μ(g(., y))
En utilisant les transformations de Boltzamnn-Gibbs d´ ecrites en (3.5), ces
lois conditionnelles s’expriment de fa¸ con synth´ etique par la formule de mise
` a jour suivante :
Loi (Θ | Y = y) = Ψ g(.,y) (μ)
13.2 Chaˆ ınes de Markov cach´ ees
L’estimation de param` etres fixes dans des chaˆ ınes de Markov cach´ ees est un
probl` eme d’inf´ erence statistique classique. Ce probl` eme s’exprime simplement
par la donn´ ee d’un mod` ele de filtrage stochastique dont certains param` etres
sont inconnus.
13 Analyse bay´ esienne
La formule pr´ ec´ edente est quelque peu abusive puisque nous avons utilis´ e
la mˆ eme notation p(.) pour d´ esigner la densit´ e conditionnelle p(y|θ) de la
variable Y sachant Θ = θ, la loi p(θ) de la variable Θ, ainsi que la constante
de normalisation p(y).
Ces abus de notation n’induisent aucune ambigu¨ ıt´ e, et sont tr` es fr´ equents
dans les ouvrages et les articles de statistique bay´ esienne.
Plus rigoureusement, supposons que le couple de variables al´ eatoires (Θ, Y )
est distribu´ e sur un espace produit (E × F ) selon une loi de probabilit´ e ayant
la forme suivante
Proba ((Θ, Y ) ∈ d(θ, y)) = μ(dθ) g(θ, y) λ(dy)
Dans la formule ci-dessus, d(θ, y) d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point
(θ, y) ∈ (E × F ), μ d´ esigne une mesure de probabilit´ e sur E, g une fonction
positive sur (E ×F ), et enfin λ une mesure de r´ ef´ erence sur F (par exemple, la
mesure de Lebesgue λ(dy) = dy sur l’espace euclidien F = R
d ). Par construction, nous avons
Proba (Θ ∈ dθ) = μ(dθ) et Proba(Y ∈ dy | Θ = θ) = g(θ, y) λ(dy)
Par cons´ equent, la loi conditionnelle de Θ sachant Y = y est donn´ ee par la
formule suivante
Proba (Θ ∈ dθ | Y = y) =
1
μ(g(., y))
g(θ, y) μ(dθ)
Sur des espaces produits euclidiens (E × F ) = R
d1+d2 , munis de la mesure de
Lebesque produit dθ × dy, nous avons les correspondances suivantes
p(θ)dθ = μ(dθ)
p(y|θ) = g(θ, y) et p(y) = μ(g(., y))
En utilisant les transformations de Boltzamnn-Gibbs d´ ecrites en (3.5), ces
lois conditionnelles s’expriment de fa¸ con synth´ etique par la formule de mise
` a jour suivante :
Loi (Θ | Y = y) = Ψ g(.,y) (μ)
13.2 Chaˆ ınes de Markov cach´ ees
L’estimation de param` etres fixes dans des chaˆ ınes de Markov cach´ ees est un
probl` eme d’inf´ erence statistique classique. Ce probl` eme s’exprime simplement
par la donn´ ee d’un mod` ele de filtrage stochastique dont certains param` etres
sont inconnus.