13
Analyse bay´ esienne
13.1 Introduction
Les m´ ethodes bays´ esiennes, par opposition aux techniques d
tistes, sont des m´ ethodes d’inf´ erence statistique fond´ ees sur le calcul de lois
conditionnelles par rapport `
a des observations partielles et bruit´ ees. Les techniques de filtrage de signaux d´ evelopp´ ees dans le chapitre 12 sont des m´ ethodes
bay´ esiennes par excellence.
L’id´ ee sous-jacente consiste `
a supposer que notre grandeur inconnue (un
param` etre, une s´ equence d’´ etats, une trajectoire, ou tout autre objet math´ ematique) est une variable al´ eatoire Θ de densit´ e de probabilit´ e p(θ), appel´ ee
densit´ e a priori de Θ. Cette densit´ e int` egre g´ en´ eralement soit des connaissances physiques, soit des informations ant´ erieures sur des donn´ ees observ´ ees
de Θ. L’´ etat Θ est partiellement observ´ e avec la donn´ ee d’´ echantillon de variables d’observations Y issues d’une exp´ erience ou de capteurs de mesures
comme en filtrage de signaux. La densit´ e de probabilit´ e conditionelle p(y | θ)
de ces observations d´ epend bien entendu de la r´ ealisation inconnue du param` etre Θ = θ. Cette densit´ e est appel´ ee la fonction de vraisemblance de Θ.
Cette fonction quantifie le degr´ e de compatibilit´ e et la vraisemblance
d’une valeur θ du param` etre par rapport `
a l’´ echantillon observ´ e y. L’approche
bay´ esienne consiste `
a calculer la densit´ e conditionelle du param` etre Θ sachant
les observations Y = y.
Cette densit´ e conditionnelle, appel´ ee densit´ e a posteriori, est calcul´ ee en
utilisant la formule de Bayes
p(θ|y) =
1
p(y)
p(y|θ) p(θ)
avec une constante de normalisation p(y).
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_13,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
3 8 7
ites fr´ equen-
Analyse bay´ esienne
13.1 Introduction
Les m´ ethodes bays´ esiennes, par opposition aux techniques d
tistes, sont des m´ ethodes d’inf´ erence statistique fond´ ees sur le calcul de lois
conditionnelles par rapport `
a des observations partielles et bruit´ ees. Les techniques de filtrage de signaux d´ evelopp´ ees dans le chapitre 12 sont des m´ ethodes
bay´ esiennes par excellence.
L’id´ ee sous-jacente consiste `
a supposer que notre grandeur inconnue (un
param` etre, une s´ equence d’´ etats, une trajectoire, ou tout autre objet math´ ematique) est une variable al´ eatoire Θ de densit´ e de probabilit´ e p(θ), appel´ ee
densit´ e a priori de Θ. Cette densit´ e int` egre g´ en´ eralement soit des connaissances physiques, soit des informations ant´ erieures sur des donn´ ees observ´ ees
de Θ. L’´ etat Θ est partiellement observ´ e avec la donn´ ee d’´ echantillon de variables d’observations Y issues d’une exp´ erience ou de capteurs de mesures
comme en filtrage de signaux. La densit´ e de probabilit´ e conditionelle p(y | θ)
de ces observations d´ epend bien entendu de la r´ ealisation inconnue du param` etre Θ = θ. Cette densit´ e est appel´ ee la fonction de vraisemblance de Θ.
Cette fonction quantifie le degr´ e de compatibilit´ e et la vraisemblance
d’une valeur θ du param` etre par rapport `
a l’´ echantillon observ´ e y. L’approche
bay´ esienne consiste `
a calculer la densit´ e conditionelle du param` etre Θ sachant
les observations Y = y.
Cette densit´ e conditionnelle, appel´ ee densit´ e a posteriori, est calcul´ ee en
utilisant la formule de Bayes
p(θ|y) =
1
p(y)
p(y|θ) p(θ)
avec une constante de normalisation p(y).
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_13,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
3 8 7
ites fr´ equen-