382
12 Traitement du signal
γ
(2)
n (f ) =
γ n (F ) = γ n (F G n ) avec F (X n ) = η
(2)
X (1) ,n
(f )
12.3.7 S´ erie de filtres optimaux en interaction
Pour simplifier la pr´ esentation, nous ferons un l´ eger abus de notation, et
nous remplacerons le processus `
a valeurs mesures
X n =
X
(1)
n , η
(2)
X (1) ,n
=
X
(1)
n , N
X
(2) −
X (1) ,n
, P
(2) −
X (1) ,n
par le processus :
X n =
X
(1)
n ,
X
(2) −
X (1) ,n
, P
(2) −
X (1) ,n
Avec ces notations, les valeurs des fonctions de potentiel H(X n ) sont donn´ ees
par la formule analytique suivante :
H n
x
(1) , x
(2) , P
:=
1
(2π) d/2
√
|σn(x (1) ,P )|
× exp
−
1
2
y n − C n
x
(1) , x
(2)
σ n (x
(1) , P )
−1
y n − C n
x
(1) , x
(2)
Les interpr´ etations particulaires des formules de Feynman-Kac suivantes
η n (F ) := γ n (F )/γ n (1) avec γ n (F ) = E
F (X n )
n−1
p=0
H p (X p )
s’expriment en terme d’une collection de processus al´ eatoires mimant l’´ evolution
de X n . Les ´ evolutions locales de chaque processus interagissent suivant des
m´ ecanismes de branchement. Les ´ evolutions conduisant ` a de faibles valeurs
du potentiel H n sont d´ etruites, les ´ evolutions les mieux adapt´ ees ` a H n sont
multipli´ ees. Ces processus stochastiques peuvent s’interpr´ eter comme un algorithme g´ en´ etique avec une ´ etape de mutation dict´ ee par l’´ evolution de X n ,
et une ´ etape de s´ election associ´ ee aux fonctions de vraisemblance H n .
Dans notre situation, les transitions ´ el´ ementaires du processus