12.3 Filtres de Kalman-Bucy en interaction
381
Estimation de la seconde composante du signal
En suivant un raisonnement analogue au pr´ ec´ edent, le pr´ edicteur optimal
η
(2)
n := Loi(X
(2)
n | Y 0 = y 0 , . . . , Y n−1 = y n−1 )
s’exprime pour toute fonction test f suffisamment r´ eguli` ere sur R
p , sous la
forme d’une mesure de Feynman-Kac normalis´ ee
η
(2)
n (f ) := γ
(2)
n (f )/γ
(2)
n (1)
(12.29)
avec
γ
(2)
n (f ) = E
n−1
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
× E
f (X
2
n ) ×
n−1
p=0
G p (X
1
p , X
2
p )
X
1
= E
γ
(2)
X (1) ,n
(f )
n−1
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
= E
η
(2)
X (1) ,n
(f ) × γ
(2)
X (1) ,n
(1) ×
n−1
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
On en conclut la formule suivante
γ
(2)
n (f ) = γ n (F ) avec F (X n ) = F
X
(1)
n , η
(2)
X (1) ,n
= η
(2)
X (1) ,n
(f )
L’analyse des filtres optimaux
η
(2)
n := Loi(X
(2)
n | Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n )
est analogue `
a celle des pr´ edicteurs. Dans cette situation, nous avons
η
(2)
n (f ) :=
γ
(2)
n (f )/ γ
(2)
n (1)
avec
γ
(2)
n (f ) = E
n
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
× E
f (X
2
n ) ×
n
p=0
G p (X
1
p , X
2
p )
X
1
= E
γ
(2)
X (1) ,n
(f )
n
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
= E
η
(2)
X (1) ,n
(f ) ×
γ
(2)
X (1) ,n
(1) ×
n
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
On en conclut la formule suivante