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12 Traitement du signal
γ
(1)
n (f ) = E
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f (X
1
n ) ×
n−1
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
× E
n−1
p=0
G p (X
1
p , X
2
p )
X
1
||
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= E
f (X
1
n ) ×
n−1
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
×
γ
(2)
X 1 ,n (1)
Il reste alors ` a utiliser la formule multiplicative classique :
γ
(2)
X 1 ,n (1) =
0≤p η
(2)
X (1) ,p
G p
X
(1)
p , .
=
0≤p G p (X p )
pour v´ erifier que l’on a
γ
(1)
n (f ) = γ n (F ) avec F (X n ) = F
X
(1)
n , η
(2)
X (1) ,n
= f (X
(1)
n )
La description du filtre optimal
η
(1)
n := Loi(X
(1)
n | Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n )
en terme des mesures
η n est directement d´ eduite des formules de FeynmanKac corrig´ ees :
η
(1)
n (f ) :=
γ
(1)
n (f )/ γ
(1)
n (1)
avec
γ
(1)
n (f ) = E
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f (X
1
n ) ×
n
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
× E
n
p=0
G p (X
1
p , X
2
p )
X
1
||
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= E
f (X
1
n ) ×
n
p=0
λ X
(1)
p ,p
(y p )
×
γ
(2)
X 1 ,n+1 (1)
= E
f (X
1
n ) ×
n
p=0
η
(2)
X (1) ,p
G p
X
(1)
p , .
λ X
(1)
p ,p
(y p )
Il en d´ ecoule la formule de repr´ esentation :
γ
(1)
n (f ) =
γ n (F ) = γ n (F G n ) avec F (X n ) = f (X
(1)
n )