12.3 Filtres de Kalman-Bucy en interaction
379
γ n (F ) := γ n (H n F ) = E
F (X n )
n
p=0
H p (X p )
Une fois notre objectif atteint, les interpr´ etations particulaires de ces flots de
mesures nous fourniront directement et sans effort un algorithme stochastique
de type g´ en´ etique pour approcher ces mesures :
– L’´ etape de mutation est dict´ ee par les transitions du signal X n−1 X n
d´ ecrites dans la section 12.3.4.
– L’´ etape d’acceptation-rejet et la s´ election des individus s’effectuent en
fonction des valeurs H n (X n ) des fonctions de potentiel des ´ etats explor´ es.
L’´ evaluation point par point des crit` eres de vraisemblance G n (X n ) est
d´ ecrite dans la section 12.3.5.
Nous d´ evelopperons plus en d´ etail ces mod` eles particulaires dans la section
suivante.
Estimation de la premi` ere composante du signal
Commen¸ cons par remarquer que le pr´ edicteur optimal
η
(1)
n := Loi(X
(1)
n | Y 0 = y 0 , . . . , Y n−1 = y n−1 )
s’exprime pour toute fonction test f suffisamment r´ eguli` ere sur E
(1)
n , sous la
forme d’une mesure de Feynman-Kac normalis´ ee
η
(1)
n (f ) := γ
(1)
n (f )/γ
(1)
n (1)
(12.28)
avec
γ
(1)
n (f ) = E
f (X
1
n ) ×
n−1
p=0
G p (X
1
p , X
2
p ) × λ X
(1)
p ,p
(y p )
Pour v´ erifier cette assertion, on rappelle que l’on a :
G n
x
(1)
n , x
(2)
n
:= g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
=
dN
C n
x
(1)
n , x
(2)
n
, σ Dn (x, R
v
n )
dN (0, σ Dn (x, R v
n ))
(y n )
pour chaque r´ ealisation de l’observation courante Y n = y n . Il reste alors ` a
souligner que l’on a
P
Y n ∈ dy n
Xn =
x
(1)
n , x
(2)
n
= g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
× λ x
(1)
n ,n
(y n ) dy n
Pour plus de d´ etails sur ces formules, nous renvoyons le lecteur ` a la section 12.3.3. La formule d´ ecrite plus haut (12.28) est donc une simple cons´ equence
de la formule de Bayes.
L’´ etape suivante consiste ` a remarquer que l’on a
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γ n (F ) := γ n (H n F ) = E
F (X n )
n
p=0
H p (X p )
Une fois notre objectif atteint, les interpr´ etations particulaires de ces flots de
mesures nous fourniront directement et sans effort un algorithme stochastique
de type g´ en´ etique pour approcher ces mesures :
– L’´ etape de mutation est dict´ ee par les transitions du signal X n−1 X n
d´ ecrites dans la section 12.3.4.
– L’´ etape d’acceptation-rejet et la s´ election des individus s’effectuent en
fonction des valeurs H n (X n ) des fonctions de potentiel des ´ etats explor´ es.
L’´ evaluation point par point des crit` eres de vraisemblance G n (X n ) est
d´ ecrite dans la section 12.3.5.
Nous d´ evelopperons plus en d´ etail ces mod` eles particulaires dans la section
suivante.
Estimation de la premi` ere composante du signal
Commen¸ cons par remarquer que le pr´ edicteur optimal
η
(1)
n := Loi(X
(1)
n | Y 0 = y 0 , . . . , Y n−1 = y n−1 )
s’exprime pour toute fonction test f suffisamment r´ eguli` ere sur E
(1)
n , sous la
forme d’une mesure de Feynman-Kac normalis´ ee
η
(1)
n (f ) := γ
(1)
n (f )/γ
(1)
n (1)
(12.28)
avec
γ
(1)
n (f ) = E
f (X
1
n ) ×
n−1
p=0
G p (X
1
p , X
2
p ) × λ X
(1)
p ,p
(y p )
Pour v´ erifier cette assertion, on rappelle que l’on a :
G n
x
(1)
n , x
(2)
n
:= g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
=
dN
C n
x
(1)
n , x
(2)
n
, σ Dn (x, R
v
n )
dN (0, σ Dn (x, R v
n ))
(y n )
pour chaque r´ ealisation de l’observation courante Y n = y n . Il reste alors ` a
souligner que l’on a
P
Y n ∈ dy n
Xn =
x
(1)
n , x
(2)
n
= g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
× λ x
(1)
n ,n
(y n ) dy n
Pour plus de d´ etails sur ces formules, nous renvoyons le lecteur ` a la section 12.3.3. La formule d´ ecrite plus haut (12.28) est donc une simple cons´ equence
de la formule de Bayes.
L’´ etape suivante consiste ` a remarquer que l’on a