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12 Traitement du signal
G n
X
(1)
n , N
X
(2) −
X (1) ,n
, P
(2) −
X (1) ,n
=
dN
C n
X
(1)
n ,
X
(2) −
X (1) ,n
, σ n
X
(1)
n , P
(2) −
X (1) ,n
dN
0, σ Dn
X
(1)
n , R v
n
(y n )
12.3.6 Filtres et pr´ edicteurs optimaux int´ egr´ es
Introduction
Nous analyserons dans cette section les pr´ edicteurs et le filtres optimaux
suivants
η
(1)
n := Loi(X
(1)
n | Y 0 , . . . , Y n−1 )
η
(1)
n := Loi(X
(1)
n | Y 0 , . . . , Y n )
et
η
(2)
n := Loi(X
(2)
n | Y 0 , . . . , Y n−1 )
η
(2)
n := Loi(X
(2)
n | Y 0 , . . . , Y n )
pour chaque r´ ealisation Y n = y n du processus d’observation. On notera par la
suite λ x,n (y) la densit´ e par rapport ` a la mesure de Lebesque dy de la mesure
gaussienne ci-dessous :
N (0, σ Dn (x, R
v
n )) (dy) = λ x,n (y) dy
Pour ˆ etre plus pr´ ecis, notre objectif est de d´ ecrire ces mesures conditionnelles
en termes des formules de Feynman-Kac normalis´ ees d´ ecrites ci-dessous :
η n (F ) := γ n (F )/γ n (1) avec γ n (F ) = E
F (X n )
n−1
p=0
H p (X p )
avec les fonctions de potentiel
H n (X n ) = G n (X n ) × λ X
(1)
n ,n
(y n )
pour toute fonction F suffisamment r´ eguli` ere sur l’espace d’´ etat du signal X n .
On rappelle que le signal X n =
X
(1)
n , η
(2)
X (1) ,n
forme une chaˆ ıne de Markov
dans l’espace produit de l’espace E
(1)
n avec l’ensemble de mesures gaussiennes
sur R
p . On notera par la suite
η n les mesures corrig´ ees suivantes :
η n (F ) :=
γ n (F )/ γ n (1)
avec