12.3 Filtres de Kalman-Bucy en interaction
375
η
(2)
x (1) ,n
(f ) = γ
(2)
x (1) ,n
(f )/γ
(2)
x (1) ,n
(1)
avec pour chaque fonction test f : R
q
→ R suffisamment r´ eguli` ere
γ
(2)
x (1) ,n
(f ) = E
f (X
(2)
n )
n−1
p=0
G p
x
(1)
p , X
(2)
p
= E
f (X
(2)
n )
n−1
p=0
G p
X
(1)
p , X
(2)
p
X
(1) = x
(1)
De mˆ eme, le filtre optimal (conditionnel ` a une r´ ealisation X
(1) = x
(1) ) est
donn´ e par la formule de Feynman-Kac normalis´ ee
η
(2)
x (1) ,n
(f ) =
γ
(2)
x (1) ,n
(f ) /
γ
(2)
x (1) ,n
(1)
avec pour chaque fonction test f : R
q
→ R suffisamment r´ eguli` ere
γ
(2)
x (1) ,n
(f ) = γ
(2)
x (1) ,n
f G n
x
(1)
n , .
= E
f (X
(2)
n )
n
p=0
G p
x
(1)
p , X
(2)
p
= E
f (X
(2)
n )
n
p=0
G p
X
(1)
p , X
(2)
p
X
(1) = x
(1)
Il est important de souligner que les constantes de normalisation des mesures Feynman-Kac d´ ecrites plus haut s’expriment en fonction des pr´ edicteurs
optimaux avec les formules multiplicatives suivantes :
E
n
p=0
G p
X
(1)
p , X
(2)
p
X
(1) = x
(1)
=
n
p=0
η
(2)
x (1) ,p
G p
x
(1)
p , .
(12.27)
Pour une preuve directe de ces formules, nous renvoyons le lecteur ` a la section 8.3.4.
12.3.4 Pr´ edicteurs optimaux conditionnels
II est important de remarquer que le processus al´ eatoire suivant