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12 Traitement du signal
P
Y n ∈ dy n
Xn =
x
(1)
n , x
(2)
n
= N
C n
x
(1)
n , x
(2)
n
, σ Dn
x
(1)
n , R
v
n
(dy n )
Dans cette situation, pour chaque r´ ealisation fix´ ee de la premi` ere chaˆ ıne
X
(1) =
x
(1)
n
n≥0
∈
n≥0
E
(1)
n
la formule (12.14) prend la forme suivante :
P
Y n ∈ dy n
X
(1) = x
(1) , X
(2)
n = x
(2)
n
= P
Y n ∈ dy n
X
(1)
n = x
(1)
n , X
(2)
n = x
(2)
n
= g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
× λ x
(1)
n ,n
(dy n )
avec la mesure gaussienne
λ x
(1)
n ,n
(dy n ) = N
0, σ Dn
x
(1)
n , R
v
n
(dy n )
sur R
q et la fonction de vraisemblance
g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
:=
dN
C n
x
(1)
n , x
(2)
n
, σ Dn
x
(1)
n , R
v
n
dN
0, σ Dn
x
(1)
n , R v
n
(y n )
Dans ces conditions, les repr´ esentations fonctionnelles du pr´ edicteur optimal
η
(2)
x (1) ,n
:= Loi(X
(2)
n | X
1 = x
(1) , Y 0 , . . . , Y n−1 )
et le filtre optimal
η
(2)
x (1) ,n
:= Loi(X
(2)
n | X
1 = x
(1) , Y 0 , . . . , Y n )
d´ ecrites 12.2.1 et 12.2.2 sont satisfaites en posant :
G n
x
(1)
n , x
(2)
n
:= g x
(1)
n ,n
y n , x
(2)
n
Plus pr´ ecis´ ement, le pr´ edicteur optimal conditionnel ` a une r´ ealisation
X
(1) = x
(1) :=
x
(1)
n
n≥0
∈
n≥0
E
(1)
n
est donn´ e par la formule de Feynman-Kac normalis´ ee