12.2 Une introduction au filtrage non lin´ eaire
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Pour d´ ecrire avec une certaine pr´ ecision ces mod` eles, on remarque tout
d’abord que les transitions de la chaˆ ıne X n sont donn´ ees par la formule
M n (X n−1 , d(x, y)) = M n (X n−1 , dx) g n (x, y) λ n (dy)
La loi initiale de X 0 est simplement donn´ ee par
P (X 0 ∈ d(x, y)) = η 0 (dx) g 0 (x, y) λ 0 (dy)
Pour simplifier la pr´ esentation, nous supposerons que E
Y = R
d , pour un
certain d ≥ 1, et l’on notera g une fonction positive sur R
d telle que
g(u)du = 1
ug(u) du = 0 et
|u|
3 g(u) du < ∞
Pour chaque > 0, et pour tout x = (x, y) ∈ (E
X
× E
Y ), on notera g ,n la
fonction de vraisemblance approch´ ee
g ,n ((x, y), z) =
−d g ((y − z)//)
(12.22)
Enfin, on consid` ere la chaˆ ıne de Markov (X n , Y
n ) sur l’espace d’´ etats augment´ e
E :=
E
X
× E
Y
=
(E
X
× E
Y ) × E
Y
de transitions de probabilit´ es donn´ ees par la formule suivante
P
(X n , Y
n ) ∈ d(x, y) | (X n−1 , Y
n−1 )
= M n (X n−1 , dx) g ,n (x, y) dy
(12.23)
Autrement dit, le mod` ele de capteur de mesure est ici donn´ e par la formule
Y
n = h n (X n ) + V n
avec la fonction h n et les perturbations de mesures V n donn´ ees par
h n (X n ) = h n (X n , Y n ) = Y n et P (V n ∈ dv) = g(v)dv
Ce mod` ele de filtrage a exactement la mˆ eme forme que celui d´ evelopp´ e dans
la section 12.2.2. Les approximations particulaires des lois conditionnelles