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12 Traitement du signal
Loi ((X 0 , . . . , X n ) | (Y
0 , . . . , Y
n ) = (y 0 , . . . , y n ))
= Loi (((X 0 , Y 0 ), . . . , (X n , Y n )) | (Y
0 , . . . , Y
n ) = (y 0 , . . . , y n ))
(12.24)
s’expriment ici par des particules ´ evoluant dans les espaces d’´ etats (E
X
×E
Y ).
Pour ˆ etre plus pr´ ecis, chaque particule est form´ ee de deux coordonn´ ees. La
premi` ere repr´ esente les ´ evolutions possibles du signal observ´ e, la seconde les
observations qu’il pourrait donner.
Les mutations de ces mod` eles sont dict´ ees par les transitions de la chaˆ ıne
de Markov augment´ ee (X n , Y
n ). L’´ etape de s´ election des particules s’exprime
en terme des fonctions de vraisemblances g ,n (., y n ) mesurant la coh´ erence
des observations simul´ ees par rapport aux observations r´ eelles.
Ces techniques de r´ egularisation s’´ etendent sans grande difficult´ e `
a des observations ` a valeurs dans des espaces m´ etriques (E
Y , d Y ). On pourra dans
ce cas utiliser des mod` eles d’observations Y
n simul´ ees al´ eatoirement dans la
boule centr´ ee autour des coordonn´ ees observ´ ees Y n . Dans cette situation, la
fonction de vraisemblance est donn´ ee par la formule
g ,n ((x, y), z) = 1 B(z,,) (y) avec B(z, ,) = {y : d Y (y, z) ≤ } (12.25)
Lorsque (E
Y , d Y ) = (R
d , .), ces mod` eles s’expriment sous la forme suivante
Y
n = Y n + V
n
o` u V
n d´ esigne une variable uniforme dans la boule B(0, ,) = {y : y ≤ }.
Lorsque le param` etre tend vers 0, ces filtres particulaires convergent vers
les lois conditionnelles recherch´ ees. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, les marginales des
lois (12.24) par rapport aux coordonn´ ees du signal convergent vers les lois
conditionnelles du probl` eme de filtrage initial
Loi ((X 0 , . . . , X n ) | (Y
0 , . . . , Y
n ) = (y 0 , . . . , y n ))
↓0 Loi ((X 0 , . . . , X n ) | (Y 0 , . . . , Y n ) = (y 0 , . . . , y n ))
Pour une discussion plus approfondie sur ces mod` eles, nous renvoyons le
lecteur aux deux premiers articles [50, 51] pr´ esentant ces mod` eles et leur
analyse de convergence.
Une illustration graphique de ces filtres particulaires r´ egularis´ es ` a l’aide
des fonctions de vraisemblances (12.25) est donn´ ee dans la figure 12.5.
12 Traitement du signal
Loi ((X 0 , . . . , X n ) | (Y
0 , . . . , Y
n ) = (y 0 , . . . , y n ))
= Loi (((X 0 , Y 0 ), . . . , (X n , Y n )) | (Y
0 , . . . , Y
n ) = (y 0 , . . . , y n ))
(12.24)
s’expriment ici par des particules ´ evoluant dans les espaces d’´ etats (E
X
×E
Y ).
Pour ˆ etre plus pr´ ecis, chaque particule est form´ ee de deux coordonn´ ees. La
premi` ere repr´ esente les ´ evolutions possibles du signal observ´ e, la seconde les
observations qu’il pourrait donner.
Les mutations de ces mod` eles sont dict´ ees par les transitions de la chaˆ ıne
de Markov augment´ ee (X n , Y
n ). L’´ etape de s´ election des particules s’exprime
en terme des fonctions de vraisemblances g ,n (., y n ) mesurant la coh´ erence
des observations simul´ ees par rapport aux observations r´ eelles.
Ces techniques de r´ egularisation s’´ etendent sans grande difficult´ e `
a des observations ` a valeurs dans des espaces m´ etriques (E
Y , d Y ). On pourra dans
ce cas utiliser des mod` eles d’observations Y
n simul´ ees al´ eatoirement dans la
boule centr´ ee autour des coordonn´ ees observ´ ees Y n . Dans cette situation, la
fonction de vraisemblance est donn´ ee par la formule
g ,n ((x, y), z) = 1 B(z,,) (y) avec B(z, ,) = {y : d Y (y, z) ≤ } (12.25)
Lorsque (E
Y , d Y ) = (R
d , .), ces mod` eles s’expriment sous la forme suivante
Y
n = Y n + V
n
o` u V
n d´ esigne une variable uniforme dans la boule B(0, ,) = {y : y ≤ }.
Lorsque le param` etre tend vers 0, ces filtres particulaires convergent vers
les lois conditionnelles recherch´ ees. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, les marginales des
lois (12.24) par rapport aux coordonn´ ees du signal convergent vers les lois
conditionnelles du probl` eme de filtrage initial
Loi ((X 0 , . . . , X n ) | (Y
0 , . . . , Y
n ) = (y 0 , . . . , y n ))
↓0 Loi ((X 0 , . . . , X n ) | (Y 0 , . . . , Y n ) = (y 0 , . . . , y n ))
Pour une discussion plus approfondie sur ces mod` eles, nous renvoyons le
lecteur aux deux premiers articles [50, 51] pr´ esentant ces mod` eles et leur
analyse de convergence.
Une illustration graphique de ces filtres particulaires r´ egularis´ es ` a l’aide
des fonctions de vraisemblances (12.25) est donn´ ee dans la figure 12.5.