12.2 Une introduction au filtrage non lin´ eaire
361
K n = P C
n [C n P C
n + D n R
v
n D
n ]
−1
L’´ etape de pr´ ediction correspond ` a l’´ equation de transport markovien
∀(m, P ) ∈ (R
p
× R
p×p )
N (m, P )M n+1 = N (m n+1 , P n+1 )
avec la moyenne m n+1 ∈ R
d et la matrice de covariance P n+1 ∈ R
d×d d´ ecrits
par :
m n+1 = A n+1 m + a n+1
P n+1 = A n+1 P A
n+1 + B n+1 R
w
n+1 B
n+1
12.2.3 Les filtres particulaires
D’un point de vue purement math´ ematique, les filtres particulaires co¨ ıncident avec les interpr´ etations champ moyen des ´ equations du filtrage non
lin´ eaire d´ ecrit en (12.17). Plus pr´ ecis´ ement, le filtre optimal est donn´ e par un
flot de distributions ´ evoluant suivant une transition de mise ` a jour/correction
et une transition d’exploration/pr´ ediction. Les ´ equations du filtrage optimal
d´ ecrites dans la section 12.2.2 co¨ ıncident avec les ´ equations des flots de mesures
de Feynman-Kac pr´ esent´ ees en (3.7).
Les interpr´ etations particulaires de ces ´ equations s’expriment en terme
d’algorithmes d’exploration de type g´ en´ etique. Ces mod` eles sont d´ ecrits en
d´ etail dans la section 3.6.3.
Dans le contexte du filtrage, les ´ etapes de correction/pr´ ediction du filtre
optimal
η n
correction
− − − − − − − − − − − − − − −→
η n = Ψ Gn (η n )
prediction
− − − − − − − − − − − − − −→ η n+1 =
η n M n+1
sont approch´ ees par des ´ etapes de s´ election/mutation d’un processus de
Markov dans un espace produit :
ξ
(N )
n
=
ξ
(i,N )
n
1≤i≤N
selection
− − − − − − − −→
ξ
(N )
n
=
ξ
(i,N )
n
1≤i≤N
mutation
− − − − − − −→ ξ
(N )
n+1