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12 Traitement du signal
Dans la section 3.6, nous avons d´ emontr´ e que ces flots de mesures de
Feynman-Kac (12.16) v´ erifient les ´ equations de correction/pr´ ediction suivantes :
η n
mise ` a jour
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −→
η n := Ψ Gn (η n )
pr´ ediction
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −→ η n+1 =
η n M n+1
(12.17)
avec la transformation de Bayes-Boltzmann-Gibbs Ψ Gn d´ efinie par
Ψ Gn (μ)(dx) :=
1
μ(G n )
G n (x) μ(dx)
et l’´ equation de transport
η n+1 (dx n+1 ) =
η n M n+1 (dx n+1 ) :=
η n (dx n ) M n+1 (x n , dx n+1 )
Dans le cas du mod` ele lin´ eaire gaussien (12.1) ´ etudi´ e dans la section 12.1.2
les mesures η n et
η n sont donn´ ees par les distributions gaussiennes :
η n = N (
X
−
n , P
−
n ) et
η n = N (
X n , P n )
Les formules de correction/pr´ ediction
N (
X
−
n , P
−
n )
↓ mise ` a jour
N (
X n , P n ) = Ψ Gn
N (
X
−
n , P
−
n )
↓ pr´ ediction
N (
X
−
n+1 , P
−
n+1 ) = N (
X n , P n )M n+1
sont d´ ecrites par les ´ equations du filtre de Kalman-Bucy.
Plus pr´ ecis´ ement, l’´ etape de s´ election correspond ` a l’´ equation suivante
∀(m, P ) ∈ (R
p
× R
p×p )
Ψ Gn (N (m, P )) = N (m n , P n )
(12.18)
avec la moyenne m n ∈ R
d et la covariance P n+1 ∈ R
d×d
m n = m + K n (y n − (C n m + c n ))
P n = (I − K n C n )P
et la matrice de gain