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12 Traitement du signal
Cet algorithme g´ en´ etique est un filtre particulaire au sens o` u les mesures
d’occupation des populations pr´ edites et corrig´ ees :
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ ξ
(i,N )
n
et
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ
ξ
(i,N )
n
convergent en un certain sens vers le pr´ edicteur et le filtre optimal ; autrement dit, nous avons :
lim
N →∞
η
N
n = η n et
lim
N →∞
η
N
n =
η n
L’´ equation d’´ evolution compl` ete du syst` eme peut se r´ esumer par le diagramme synth´ etique suivant :
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ξ
(1,N )
n
. . .
ξ
(i,N )
n
. . .
ξ
(N,N )
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
S n,η N
n
− − − − − − − − − −→
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ξ
(1,N )
n
Mn+1
− − − − − − − − − −→
. . .
ξ
(i,N )
n
− − − − − − − − − −→
. . .
ξ
(N,N )
n
− − − − − − − − − −→
ξ
(1,N )
n+1
. . .
ξ
(i,N )
n+1
. . .
ξ
(N,N )
n+1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
avec les probabilit´ es d’acceptation-rejet :
S n,η N
n
(ξ
(i,N )
n
, dx)
:= n (η
N
n ) G n (ξ
(i,N )
n
) δ ξ
(i,N )
n
(dx)+
1 − n (η
N
n )G n (ξ
(i,N )
n
)
N
j=1
G n (ξ
(j,N )
n
)
N
k=1 G n (ξ
(k,N )
n
)
δ ξ
(j,N )
n
(dx)
Comme nous l’avons soulign´ e dans la section 3.6.3, le choix du param` etre
d’acceptation est loin d’ˆ etre unique. L’algorithme g´ en´ etique simple correspond
au cas n (η
N
n ) = 0 ; si on pose
n (η
N
n ) = 1/ sup
i
G n (ξ
(i,N )
n
)
les ´ elites de la population qui maximisent la fonction de vraisemblance sont
toujours accept´ ees ; enfin, si G n ∞ est explicitement connu, on peut aussi
poser n (η
N
n ) = 1/G n ∞ .
Une repr´ esentation sch´ ematique de l’´ evolution d’un filtre particulaire avec
N = 7 particules est donn´ ee dans la figure 12.3.