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12 Traitement du signal
Ces repr´ esentations fonctionnelles du filtre optimal en terme de mesures de
Feynman-Kac ne sont pas restreintes ` a la forme du capteur de mesure d´ ecrit
en (12.10). Il suffit de v´ erifier que les ´ equations du capteur de mesure sont
telles que
P (Y n ∈ dy n |X n = x n ) = g n (y n , x n ) λ n (dy n )
pour une certaine mesure de r´ ef´ erence λ n . Dans ces conditions, les
repr´ esentations fonctionnelles d´ ecrites plus haut sont satisfaites en posant :
G n (x n ) := g n (y n , x n )
12.2.2 Les ´ equations du filtrage
On conviendra par la suite que le signal X n est une chaˆ ıne de Markov
abstraite ` a valeurs dans un espace d’´ etat E, de loi initiale η 0 et de transitions
de probabilit´ es M n . Autrement dit, nous avons
P (X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n )
P (X 0 ∈ dx 0 ) = η 0 (dx 0 )
Le processus d’observation est donn´ e par une suite de mesures al´ eatoires Y n
dans R
d d´ efinies par les formules suivantes :
P (Y n ∈ dy n |X n = x n ) = g n (y n , x n ) λ n (dy n )
(12.14)
pour une mesure de r´ ef´ erence λ n et une fonction suffisamment r´ eguli` ere g n
sur (R
d
× E).
Le couple (X n , Y n ) forme une chaˆ ıne de Markov ` a valeurs dans l’espace
produit (E × R
d ), de loi initiale
P ((X 0 , Y 0 ) ∈ d(x 0 , y 0 )) = η 0 (dx 0 ) g 0 (y 0 , x 0 ) λ 0 (dy 0 )
et de transitions de probabilit´ es
P ((X n , Y n ) ∈ d(x n , y n ) | (X n−1 , Y n−1 ))
= M n (X n−1 , dx n ) g n (y n , x n ) λ n (dy n )
Pour illustrer ce mod` ele abstrait, on revient au mod` ele lin´ eaire gaussien
(12.1) ´ etudi´ e dans la section 12.1.2. Dans ce contexte, les transitions M n+1
12 Traitement du signal
Ces repr´ esentations fonctionnelles du filtre optimal en terme de mesures de
Feynman-Kac ne sont pas restreintes ` a la forme du capteur de mesure d´ ecrit
en (12.10). Il suffit de v´ erifier que les ´ equations du capteur de mesure sont
telles que
P (Y n ∈ dy n |X n = x n ) = g n (y n , x n ) λ n (dy n )
pour une certaine mesure de r´ ef´ erence λ n . Dans ces conditions, les
repr´ esentations fonctionnelles d´ ecrites plus haut sont satisfaites en posant :
G n (x n ) := g n (y n , x n )
12.2.2 Les ´ equations du filtrage
On conviendra par la suite que le signal X n est une chaˆ ıne de Markov
abstraite ` a valeurs dans un espace d’´ etat E, de loi initiale η 0 et de transitions
de probabilit´ es M n . Autrement dit, nous avons
P (X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 ) = M n (x n−1 , dx n )
P (X 0 ∈ dx 0 ) = η 0 (dx 0 )
Le processus d’observation est donn´ e par une suite de mesures al´ eatoires Y n
dans R
d d´ efinies par les formules suivantes :
P (Y n ∈ dy n |X n = x n ) = g n (y n , x n ) λ n (dy n )
(12.14)
pour une mesure de r´ ef´ erence λ n et une fonction suffisamment r´ eguli` ere g n
sur (R
d
× E).
Le couple (X n , Y n ) forme une chaˆ ıne de Markov ` a valeurs dans l’espace
produit (E × R
d ), de loi initiale
P ((X 0 , Y 0 ) ∈ d(x 0 , y 0 )) = η 0 (dx 0 ) g 0 (y 0 , x 0 ) λ 0 (dy 0 )
et de transitions de probabilit´ es
P ((X n , Y n ) ∈ d(x n , y n ) | (X n−1 , Y n−1 ))
= M n (X n−1 , dx n ) g n (y n , x n ) λ n (dy n )
Pour illustrer ce mod` ele abstrait, on revient au mod` ele lin´ eaire gaussien
(12.1) ´ etudi´ e dans la section 12.1.2. Dans ce contexte, les transitions M n+1