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12 Traitement du signal
Par des raisonnements analogues ` a ceux utilis´ es dans la section 8.1, on peut
v´ erifier que les lois conditionnelles recherch´ ees
η n (d(x 0 , . . . , x n )) := P(X [0,n] ∈ d(x 0 , . . . , x n ) | Y [0,n] = (y 0 , . . . , y n ))
s’expriment sous la forme synth´ etique suivante :
η n (d(x 0 , . . . , x n )) :=
1
Z n
n
p=0
G p (x p )
P n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec les fonctions potentiel non homog` enes, d´ ependant des observations courantes, et d´ efinis par la formule
G n (x n ) = g n (y n − h n (x n ))
Les param` etres Z n correspondent aux constantes de normalisation
Z n = E
n
p=0
G p (X p )
Autrement dit, pour toute fonction born´ ee F n sur l’espace des trajectoires
du signal nous avons
E(F n (X 0 , . . . , X n ) | Y [0,n] = (y 0 , . . . , y n ))
=
E
F n (X 0 , . . . , X n )
n
p=0 G p (X p )
E
n
p=0 G p (X p )
(12.12)
On remarque que les marginales de ces mesures sur l’instant terminal sont
donn´ ees pour toute fonction born´ ee f n sur E par la formule
E(f n (X n ) | Y [0,n] = (y 0 , . . . , y n )) =
E
f n (X n )
n
p=0 G p (X p )
E
n
p=0 G p (X p )
Dans le cas scalaire examin´ e plus haut, les fonctions potentiel G n sont
donn´ ees par la formule suivante :
G n (x n ) =
1
√
2π
exp
−
(y n − h n (x n ))
2
2
(12.13)