12.2 Une introduction au filtrage non lin´ eaire
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12.2 Une introduction au filtrage non lin´ eaire
12.2.1 Formules int´ egrales de Feynman-Kac
Nous allons ´ etendre l´ eg` erement le mod` ele de filtrage d´ ecrit dans la section 8.1.
Le signal X n est ` a nouveau une chaˆ ıne de Markov abstraite `
a valeurs dans
un espace d’´ etat E, de loi initiale η 0 et de transitions de probabilit´ es M n . Un
capteur de mesure nous fournit `
a chaque instant une observation partielle
et bruit´ ee ` a valeurs dans R
d . On conviendra que ces observations Y n sont
d´ etermin´ ees par une ´ equation de la forme
Y n = h n (X n ) + V n
(12.10)
La fonction h n d´ esigne une fonction d’observation de E dans R
d , et
les perturbations de mesure V n seront suppos´ ees ind´ ependantes du signal,
ind´ ependantes entre elles, et distribu´ ees selon une loi absolument continue de
densit´ e g n .
P(V n ∈ dv n ) = g n (v n ) dv n
Pour fixer les id´ ees, on pourra supposer que d = 1 et que les perturbations
de mesures V n sont des variables gaussiennes de densit´ e :
g n (v n ) =
1
√
2π
e
−
v 2
n
2
(12.11)
Connaissant une trajectoire du signal
X [0,n] = (x 0 , . . . , x n )
les s´ equences d’observations forment une suite de variables ind´ ependantes
Y [0,n] := (Y 0 , . . . , Y n ) = (h 0 (x 0 ) + V 0 , . . . , h n (x n ) + V n )
distribu´ ees selon la loi
P(Y [0,n] ∈ d(y 0 , . . . , y n ) | X [0,n] = (x 0 , . . . , x n ))
∝
n
p=0
g n (y p − h p (x p )) dy 0 . . . dy n