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12 Traitement du signal


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Fig. 12.1. Filtrage de signaux radar
12.1.2 Description du mod` ele
Dans le cadre du filtrage lin´ eaire gaussien, le couple signal/observation
(X n , Y n ) est repr´ esent´ e par une chaˆ ıne de Markov ` a valeurs dans R
p+q , et
d´ efinie r´ ecursivement par les ´ equations suivantes :
X n = A n X n−1 + a n + B n W n , n ≥ 1
Y n = C n X n + c n + D n V n ,
n ≥ 0
(12.1)
Les s´ equences W n et V n repr´ esentent des suites de variables al´ eatoires
ind´ ependantes ` a valeurs dans R
dw , et dans R
dv . On convient que ces s´ equences
sont ind´ ependantes de la variable initiale X 0 . Les lettres (A n , B n , C n , D n ), et
(a n , c n ) repr´ esentent respectivement des matrices, et des vecteurs d´ eterministes
de dimensions appropri´ ees.
Les variables W n et V n sont suppos´ ees gaussiennes, centr´ ees, et de matrices
de covariance respectives
R
w
n = E(W n W
n ) et R
v
n = E(V n V
n )
On suppose enfin que la variable initiale X 0 est une variable gaussienne de
moyenne et de matrice de covariance donn´ ees par :
X
−
0 = E(X 0 ) and P
−
0 = E((X 0 − E(X 0 )) (X 0 − E(X 0 ))
)
Ces hypoth` eses sur la lin´ earit´ e des mod` eles, et la nature gaussienne de
toutes les variables en jeu n’est pas anodine. Les mondes lin´ eaires et gaussiens