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Traitement du signal
12.1 Filtre de Kalman-Bucy
12.1.1 Introduction
Le filtre de Kalman-Bucy est sans nul doute l’algorithme stochastique le
plus couramment utilis´ e en ing´ enierie, et plus particuli` erement en traitement
du signal [98, 99]. Le probl` eme du filtrage consiste ` a estimer les lois conditionnelles des ´ etats d’un signal par rapport ` a une s´ equence d’observations
partielles et bruit´ ees. Plus pr´ ecis´ ement, les valeurs exactes du processus X n
ne sont pas directement observ´ ees. N´ eanmoins, un capteur de mesures nous
transmet ` a chaque ´ etape n certaines informations Y n sur la valeur de X n :
X 0 → X 1 → X 2 → X 3 → . . .
signal
↓
↓
↓
↓
. . .
Y 0
Y 1
Y 2
Y 3
. . . observation
Une illustration tr` es sch´ ematique d’un probl` eme de filtrage d’un signal
´ evoluant dans le plan par des observations de distances fournies par un radar
centr´ e en l’origine est donn´ ee dans la figure 12.1.
Le but du filtrage est alors de calculer les lois conditionnelles
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ) et Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n )
ou plus g´ en´ eralement la distribution conditionnelle de toute la trajectoire
Loi((X 0 , . . . , X n ) | Y 0 , . . . , Y n )
La premi` ere distribution est appel´ ee le pr´ edicteur optimal, la seconde
porte le nom de filtre optimal.
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_12,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Traitement du signal
12.1 Filtre de Kalman-Bucy
12.1.1 Introduction
Le filtre de Kalman-Bucy est sans nul doute l’algorithme stochastique le
plus couramment utilis´ e en ing´ enierie, et plus particuli` erement en traitement
du signal [98, 99]. Le probl` eme du filtrage consiste ` a estimer les lois conditionnelles des ´ etats d’un signal par rapport ` a une s´ equence d’observations
partielles et bruit´ ees. Plus pr´ ecis´ ement, les valeurs exactes du processus X n
ne sont pas directement observ´ ees. N´ eanmoins, un capteur de mesures nous
transmet ` a chaque ´ etape n certaines informations Y n sur la valeur de X n :
X 0 → X 1 → X 2 → X 3 → . . .
signal
↓
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. . .
Y 0
Y 1
Y 2
Y 3
. . . observation
Une illustration tr` es sch´ ematique d’un probl` eme de filtrage d’un signal
´ evoluant dans le plan par des observations de distances fournies par un radar
centr´ e en l’origine est donn´ ee dans la figure 12.1.
Le but du filtrage est alors de calculer les lois conditionnelles
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ) et Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n )
ou plus g´ en´ eralement la distribution conditionnelle de toute la trajectoire
Loi((X 0 , . . . , X n ) | Y 0 , . . . , Y n )
La premi` ere distribution est appel´ ee le pr´ edicteur optimal, la seconde
porte le nom de filtre optimal.
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_12,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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