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10 Mod` eles de fractal dans la nature
T = ∪ g∈G gS
o` u G d´ esigne un groupe de sym´ etries d’ordre |G|, et S une transformation
affine du plan donn´ ee en terme d’une matrice contractante et d’un vecteur
S
x
y
=
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
x
y
+
b 1
b 2
On peut g´ en´ erer al´ eatoirement ce fractal en utilisant le marcheur virtuel
X n = (g n S)(X n−1 )
o` u g n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes et uniformes
sur le groupe G.
Le triangle, le pentagone, et l’hexagone de Sierpinski correspondent respectivement aux groupes de sym´ etrie G = {Z 3 , Z 5 , Z 6 }, et aux jeux de param` etres
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
=
1/2 0
0 1/2
et
b 1
b 2
=
1/2
0
Le Soleil pyrotechnique correspond au groupe de sym´ etrie G = Z 9 et aux
param` etres
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
=
0, 4 −0, 1
−0, 35 0, 4
et
b 1
b 2
=
0, 01
0, 2
Enfin, l’Abeille correspond au groupe de sym´ etrie G = D 3 et au jeu de
param` etres
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
=
−0, 1 0, 35
0, 2 0, 5
et
b 1
b 2
=
0, 5
0, 4
Nous terminerons ce voyage par deux mod` eles math´ ematiques correspondant respectivement `
a la construction al´ eatoire d’une feuille, et d’un arbre
fractal.
Ces mod` eles sont sans nul doute les chaˆ ınes de Markov les plus simples `
a
simuler num´ eriquement. Ils sont simplement d´ efinis par donn´ ee d’une famille
de transformations affines du plan (S i ) i∈I ind´ ex´ ee par un ensemble fini I, muni
d’une mesure de probabilit´ e p. Pour les d´ ecrire, on introduit une suite ( n ) n≥1
de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de mˆ eme loi p sur I. Ces algorithmes
stochastiques sont repr´ esent´ es par la donn´ ee d’une chaˆ ıne de Markov X =
(X n ) n≥0 d´ efinie r´ ecursivement par les ´ equations suivantes :
X 0 ∈ R
2
X n = S n (X n−1 ) = S n S n−1 (X n−2 ) = . . . = S n . . . S 1 (X 0 )
– Un mod` ele fractal de feuille. Dans ce premier mod` ele de feuille, on
se donne une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de Bernoulli
( n ) n≥1 avec
10 Mod` eles de fractal dans la nature
T = ∪ g∈G gS
o` u G d´ esigne un groupe de sym´ etries d’ordre |G|, et S une transformation
affine du plan donn´ ee en terme d’une matrice contractante et d’un vecteur
S
x
y
=
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
x
y
+
b 1
b 2
On peut g´ en´ erer al´ eatoirement ce fractal en utilisant le marcheur virtuel
X n = (g n S)(X n−1 )
o` u g n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes et uniformes
sur le groupe G.
Le triangle, le pentagone, et l’hexagone de Sierpinski correspondent respectivement aux groupes de sym´ etrie G = {Z 3 , Z 5 , Z 6 }, et aux jeux de param` etres
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
=
1/2 0
0 1/2
et
b 1
b 2
=
1/2
0
Le Soleil pyrotechnique correspond au groupe de sym´ etrie G = Z 9 et aux
param` etres
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
=
0, 4 −0, 1
−0, 35 0, 4
et
b 1
b 2
=
0, 01
0, 2
Enfin, l’Abeille correspond au groupe de sym´ etrie G = D 3 et au jeu de
param` etres
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
=
−0, 1 0, 35
0, 2 0, 5
et
b 1
b 2
=
0, 5
0, 4
Nous terminerons ce voyage par deux mod` eles math´ ematiques correspondant respectivement `
a la construction al´ eatoire d’une feuille, et d’un arbre
fractal.
Ces mod` eles sont sans nul doute les chaˆ ınes de Markov les plus simples `
a
simuler num´ eriquement. Ils sont simplement d´ efinis par donn´ ee d’une famille
de transformations affines du plan (S i ) i∈I ind´ ex´ ee par un ensemble fini I, muni
d’une mesure de probabilit´ e p. Pour les d´ ecrire, on introduit une suite ( n ) n≥1
de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de mˆ eme loi p sur I. Ces algorithmes
stochastiques sont repr´ esent´ es par la donn´ ee d’une chaˆ ıne de Markov X =
(X n ) n≥0 d´ efinie r´ ecursivement par les ´ equations suivantes :
X 0 ∈ R
2
X n = S n (X n−1 ) = S n S n−1 (X n−2 ) = . . . = S n . . . S 1 (X 0 )
– Un mod` ele fractal de feuille. Dans ce premier mod` ele de feuille, on
se donne une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de Bernoulli
( n ) n≥1 avec